Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) $A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$;

b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$;

c) $C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$;

d) $D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x$.

Lời giải

a) Cách 1:

$A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$

$= \left( {\sin \frac{\pi }{4}\cos x + \cos \frac{\pi }{4}\sin x} \right) - \left( {\cos \frac{\pi }{4}\cos x + \sin \frac{\pi }{4}\sin x} \right)$

$= \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right) - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right) = 0\,\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Cách 2:

$A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$

$= \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]$

$= \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = 0\,\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$

$= \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right]$

$= \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = 0\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.

c) $C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x - \frac{\pi }{3} - x} \right)} \right]$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos \left( { - 2x} \right)} \right)$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \cos 2x} \right)$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{2} + \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)} \right]$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 2{{\sin }^2}x} \right)$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{4} - {\sin ^2}x = \frac{1}{4}\,\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

d) $D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x$

$= \frac{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\cos x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + 2\sin x\cos x}}.\cot x$

$= \frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x$

$= \frac{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}.\cot x$

$= \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cot x = \tan x.\cot x = 1\,\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.