Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để phân thức $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 4x + 6}}}}{{{\rm{x + 2}}}}$ có giá trị nguyên?

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: ${\rm{x}} + 2 \ne 0$ hay ${\rm{x}} \ne - 2$.

$\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}} = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 8 - 2}}{{x + 2}}$

$= \frac{{{x^2}\left( {x + 2} \right) + 4\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}}$

$= \frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}} = {\rm{ }}{x^2} + 4 - \frac{2}{{x + 2}}$.

Ta có ${{\rm{x}}^2} \in \mathbb{Z}\,\,\,\forall {\rm{x}} \in \mathbb{Z}$ nên để phân thức $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 4x + 6}}}}{{{\rm{x + 2}}}}$ có giá trị nguyên thì$\frac{2}{{{\rm{x}} + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {{\rm{x}} + 2} \right) \in \;$Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,\,2} \right\}$.

Ta xét các trường hợp sau:

• ${\rm{x}} + 2 = - 2 \Leftrightarrow {\rm{x}} = - 4\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

• $\,{\rm{x}} + 2 = - 1 \Leftrightarrow {\rm{x}} = - 3\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

• ${\rm{x}} + 2 = 1 \Leftrightarrow {\rm{x}} = - 1\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

• ${\rm{x}} + 2 = 2 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 0\,\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

Vậy có 4 giá trị nguyên của x để phân thức $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 4x + 6}}}}{{{\rm{x + 2}}}}$ có giá trị nguyên.