Số nghiệm của phương trình ${\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)$ là:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > 0

Đặt $t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \sqrt x } \right)$ (vì $1 + \sqrt x > 1 \Rightarrow t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \sqrt x } \right) > 0$)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{1 + \sqrt x = {2^t}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{x = {{\left( {{2^t} - 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\\ \Rightarrow {3^t} = {\left( {{2^t} - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {3^t} = {4^t} - {2.2^t} + 1\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} = 1\end{array}$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}$ trên (0; +∞) có:

$\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{4}\\ = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2} + 2 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2}\end{array}$

Mà ${\rm{ln}}\frac{3}{4} < 0,{\rm{ln}}\frac{1}{2} < 0$ nên f’(t) < 0; ∀ t > 0

Do đó hàm số f(t) nghịch biến trên (0; +∞)

Dễ thấy f(2) = 1 nên phương trình f(t) = 1 có nghiệm duy nhất t = 2

Suy ra ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9$

Vậy ta chọn đáp án C.