Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho  Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right) - {x^2} + 2x + m.$ Giá trị của tham số $m$ để ${\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]}}g\left( x \right) = 8$ là${\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,10} \right]}}f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.$

Đặt $t = {x^3} + x.$ Vì $x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]$ nên $t \in \left[ {0\,;\,\,10} \right].$

Ta có: ${\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]}}g\left( x \right) = {\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]}}\left[ {f\left( {{x^3} + x} \right) - {x^2} + 2x + m} \right]$

$= {\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( {{x^3} + x} \right) + {\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]}}\left( { - {x^2} + 2x + m} \right)$

$= {\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,10} \right]}}f\left( t \right) + 1 + m$ (với $t = {x^3} + x$ và ${\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]}}\left[ { - {x^2} + 2x + m} \right] = 1 + m$).

$= {\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,10} \right]}}f\left( x \right) + 1 + m = 4 + 1 + m = 5 + m.$

Suy ra ${\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]}}g(x) = 5 + m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{t = 2}\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right..$

Theo giả thiết, ta có: ${\max _{x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]}}g\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow m + 5 = 8 \Leftrightarrow m = 3.$ Chọn D.