Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n$ có điểm cực tiểu là $A\left( {1\,;\,\,3} \right)$. Giá trị của $m + n$ bằng

Đáp án: ……….

Ta có: $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,y'' = 6x - 4m$.

Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n$ có điểm cực tiểu là $A\left( {1\,;\,\,3} \right)$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 1 \right) = 0}\\{f''\left( 1 \right) > 0}\\{f\left( 1 \right) = 3}\end{array}} \right.$.

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - 4m + {m^2} = 0}\\{6 - 4m > 0}\\{1 - 2m + {m^2} + n = 3}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m = 1}\end{array}} \right.}\\{m < \frac{3}{2}}\\{n = 3 - {{\left( {m - 1} \right)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3}\end{array}} \right.$.

Vậy $m + n = 1 + 3 = 4$.

Đáp án: 4