Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left( x \right) = 2m + 1$ có ba nghiệm phân biệt?

Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất $30$ bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là $200$ nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng mỗi giờ. Công ty cần sử dụng bao nhiêu máy móc để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất?

Cho hàm số $f\left( x \right) = x - \sin 2x$.

a) $f'\left( x \right) = 1 + 2\cos 2x$.

b) $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}$.

c) Trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$, phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có đúng một nghiệm $\frac{{5\pi }}{6}$.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $\frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Người ta dùng một thanh thép có chiều dài 4 m để uốn thành khung viền của một cửa sổ có dạng một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có các kích thước được cho như hình bên.

a) Có thể biểu thị $y$ theo công thức $y = 2 - \frac{{\left( {\pi - 2} \right)x}}{2}$.

b) Diện tích của cửa sổ được tính bởi công thức $S\left( x \right) = 4x - 2{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{2}$ (m²).

c) Diện tích của cửa sổ lớn nhất khi $x = \frac{4}{{\pi + 2}}$ (m).

d) Giá trị lớn nhất của diện tích cửa sổ là $\frac{8}{{\pi + 4}}$ (m²).

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = - 2{x^3} + x$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ax + 3}}{{bx + c}}$ $\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)$ có bảng biến thiên như sau:

a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 2$.

b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 2$.

c) $f\left( { - 5} \right) < 0$.

d) Trong các số $a,b$ và $c$ chỉ có một số âm.