Câu hỏi:
03/03/2025 32,217Cho đường tròn (O)(O), bán kính R(R>0)R(R>0) và dây cung BCBC cố định. Một điểm AA chuyển động trên cung lớn BCBC sao cho tam giác ABCABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD,BEAD,BE của tam giác ABCABC cắt nhau tại HH và BEBE cắt đường tròn (O)(O) tại FF(F(F khác B).B).
a) Chứng minh rằng tứ giác DHECDHEC nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AMAM của đường tròn (O)(O) và OIOI vuông góc với BCBC tại II. Chứng minh II là trung điểm của HMHM và tính AFAF biết BC=R√3.BC=R√3.
c) Khi BCBC cố định, xác định vị trí của AA trên đường tròn (O)(O) để DH⋅DADH⋅DA lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Gọi O′ là trung điểm của cạnh CH.
Ta có HD⊥CD nên ^HDC=90∘.
Xét ΔHDCvuông tại D có DO′ là trung tuyến nên DO′=HO′=CO′=12HC.
Chứng ming tương tự, ta có CO′=HO′=EO′=12HC.
Do đó DO′=HO′=CO′=EO′=12HC.
Vậy bốn điểm D,H,E,C cùng thuộc một đường tròn.
Vậy tứ giác DHEC nội tiếp đường tròn.
b) Trong tam giác ABC có BE,AD là hai đường cao cắt nhau tại H.
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH⊥AB.
Trong(O) có ^ABM,^ACM là hai góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn đường kính AM.
Suy ra ^ABM=^ACM=90∘ nên MB⊥AB;MC⊥AC.
Mà CH⊥AB;BH⊥AC nên MB//CH,MC//BH nên BHCM là hình bình hành.
Xét đường tròn (O) có OI⊥BC tại I nên I là trung điểm của BC (đường kính vuông góc với dây).
c) Xét ΔDHB và ΔDCA có
^BDH=^ADC=90∘ (vì AD⊥BC)
^HBD=^DAC (cùng phụ ^ACB)
Do đó .
Suy ra DHDC=DBDA hay DH⋅DA=DB⋅DC.
Ta có (a−b)2≥0 hay a2−2ab+b2≥0 nên a2+2ab+b2≥4ab, suy ra ab≤(a+b)24.
Áp dụng bất đẳng thức ab≤(a+b)24, ta có: DB⋅DC≤(DB+DC)24=BC24.
Suy ra DH⋅DA≤BC24 không đổi vì BC cố định.
Dấu xảy ra khi DB=DC, khi đó A là điểm chính giữa cung lớn .
Vậy A là điểm chính giữa cung lớn thì giá trị lớn nhất của DH⋅DA bằng BC24.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một chiếc kem ốc quế có dạng hình nón với phần vỏ quế có đường kính đáy là 4,4cm, chiều cao vỏ quế 12cm. Người ta lấy phần kem từ một hộp hình trụ có chiều cao là 15cm với diện tích đáy 100π(cm2) để cho vào vỏ ốc quế (coi phần vỏ kem có độ dày không đáng kể).
a) Thể tích hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h, được tính bằng công thức: V=13πR2h.
b) Bán kính đáy của chiếc kem ốc quế là R=2,2cm.
c) Thể tích của chiếc kem là 145225π(cm3).
d) Ta có thể lấy kem từ hộp làm được tối đa 75 chiếc kem ốc quế.
Xem đáp án »
03/03/2025
5,454
Câu 2:
B. Tự luận
1. Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kg).
Biết rằng có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg.
a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.
b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?
2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2,3,…,51,52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tìm số phần tử của tập hợp C gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra. Sau đó, hãy tính xác suất của mỗi biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số khi chia cho 4 và 5 đều có số dư là 1”.
Xem đáp án »
03/03/2025
3,903
Câu 3:
Một chiếc nón ông già Noel thường gồm có ba phần: Hình trụ để làm đế nón, phần mũ chính là hình nón, trên đỉnh nón là quả bóng trắng có hình cầu và có các kích thước tương ứng như hình vẽ. Tính tổng diện tích phần vải để may nón, biết rằng chiều cao của đế nón bằng đường kính của quả bóng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị với đơn vị cm2).
Xem đáp án »
03/03/2025
3,766
Câu 4:
Cho tứ giác nội tiếp ABCD đường tròn (O). Hai đường thẳng AB và DC cắt nhau tại X. Biết ^BAD=70∘;^ABC=130∘. Tính số đo góc BXC (đơn vị độ).
Xem đáp án »
03/03/2025
2,481
Câu 5:
Tập hợp A gồm các số có ba chữ số, trong đó có 15 số nguyên tố. Bạn An chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp A. Biết rằng xác suất của biến cố “Chọn được số là hợp số” là 0,7. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Xem đáp án »
03/03/2025
2,108
Câu 6:
Khi gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi T là tổng số chấm trên hai con xúc xắc thì kết quả nào sau đây không thể xảy ra?
Xem đáp án »
03/03/2025
1,643
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận