Câu hỏi:

11/03/2025 219

**(4,0 điểm)**

2) Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Lấy điểm C trên đường tròn (O) và lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC (M không trùng với B,C). Gọi H là giao điểm của AM và BC. Đường thẳng AC cắt đường thẳng BM tại D. DH cắt AB tại K.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $C, D, M, H$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 1) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Cầu Giấy_Quận Cầu Giấy !!

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k).

Tải ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét đường tròn (O;R) có $\hat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\hat{ACB} = 90 °,$ hay $AC ⊥ CB$ suy ra $\hat{DCH} = 90 °$ hay tam giác DCH vuông tại C suy ra ba điểm D,C,H cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DCH có tâm là trung điểm của DH và bán kính bằng $\frac{1}{2} DH$ (đường tròn đường kính DH)

Chứng minh tương tự ta có ba điểm D,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính DH.

Vậy bốn điểm C,D,M,H cùng thuộc đường tròn đường kính DH

a) Chứng minh rằng bốn điểm C,D,M,H cùng thuộc một đường tròn. (ảnh 1)

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

b) Chứng minh rằng $ΔDCM$ đồng dạng với $ΔDBA$ .

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

b) Ta có bốn điểm A,B,M,C cùng nằm trên đường tròn (O;R) nên tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn, suy ra $\hat{ACM} + \hat{ABM} = 180 °$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mà $\hat{ACM} + \hat{MCD} = 180 °$ (kề bù) nên $\hat{ABM} = \hat{MCD}$ hay $\hat{DBA} = \hat{DCM} .$

$\hat{CAM}, \hat{CBM}$ là các góc nội tiếp chắn cung CM suy ra $\hat{CAM} = \hat{CBM}$ hay $\hat{DAM} = \hat{DBC}$

Xét $ΔDCM$ và $ΔDBA$ có: $\hat{ADB}$ là góc chung và $\hat{DCM} = \hat{DBA}$ (chứng minh trên)

Do đó $ΔDCM ∽ ΔDBA$ (g.g).

Câu 3:

c) Chứng minh rằng $\hat{CKM} = \hat{COM}$ .

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

c) Xét đường tròn (O;R) có $\hat{CAM}, \hat{COM}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM nên $\hat{COM} = 2 \hat{CAM} .$ (1)

Chứng minh tương tự câu a ta có bốn điểm $A, C, H, K$ cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ACHK nội tiếp đường tròn, nên $\hat{CAH} = \hat{CKH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) hay $\hat{CAM} = \hat{CKH}$

Chứng minh tương tự, ta có $\hat{CBM} = \hat{MKH}$ .

Lại có $\hat{CAM} = \hat{CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của đường tròn (O)) nên $\hat{CKH} = \hat{MKH}$ hay KH là tia phân giác của $\hat{CKM},$ suy ra $\hat{CKM} = 2 \hat{CKH} = 2 \hat{CAM}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{CKM} = \hat{COM} .$

Câu 4:

d) Kẻ phân giác góc $AMB$ cắt $AB$ tại $P$ . Tìm vị trí của $M$ thỏa mãn đề bài để $\frac{{MP}}{{MA + MB}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

d) Ta có MP là tia phân giác của $\hat{AMB}$ nên $\hat{AMP} = \hat{BMP} = \frac{1}{2} \hat{AMB} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 ° .$

Gọi Q là giao điểm của MP với đường tròn (O;R) Khi đó $\hat{AQB} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\hat{ABQ} = \hat{AMQ} = 45 °$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQ của đường tròn (O))

Suy ra $ΔQAB$ vuông cân tại Q

Do đó

$\sin \hat{ABQ} = \frac{AQ}{AB}$ hay

$\frac{AQ}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên

$\frac{AB}{AQ} = \sqrt{2} .$

Xét $ΔMPA$ và $ΔBPQ$ có: $\hat{AMP} = \hat{QBP}$ (chứng minh trên) và $\hat{MPA} = \hat{BPQ}$ (đối đỉnh)

Do đó $ΔMPA ∽ ΔBPQ$ (g.g). Suy ra $\frac{MP}{BP} = \frac{MA}{BQ}$ hay $\frac{MP}{MA} = \frac{BP}{BQ} .$

Tương tự $ΔMPB ∽ ΔAPQ$ (g.g), suy ra $\frac{MP}{MB} = \frac{AP}{AQ} .$

Do đó $\frac{MP}{MA} + \frac{MP}{MB} = \frac{BP}{BQ} + \frac{AP}{AQ} = \frac{AB}{AQ} = \sqrt{2}$ (do $BQ = AQ$ vì vuông cân tại Q.)

¬ Chứng minh bất đẳng thức bổ đề: Với $x > 0,\,\,y > 0$ ta luôn có $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}.$

Thật vậy, với $x > 0,\,\,y > 0$ ta có: ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$

${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0$

${x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy$

$\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}$

$\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {x - y} \right)^2} = 0$ hay $x = y.$ Bất đẳng thức trên đã được chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: $\frac{1}{{MA}} + \frac{1}{{MB}} \ge \frac{4}{{MA + MB}}$

Hay $\frac{{MP}}{{MA + MB}} \le MP \cdot \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{MA}} + \frac{1}{{MB}}} \right) = \frac{1}{4} \cdot \left( {\frac{{MP}}{{MA}} + \frac{{MP}}{{MB}}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $MA = MB.$

Vậy giá trị lớn nhất của $\frac{{MP}}{{MA + MB}}$ là $\frac{{\sqrt 2 }}{4}$ khi $MA\, = \,MB$ hay $M$ là điểm chính giữa cung $AB.$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán VietJack

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn VietJack

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh VietJack

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh VietJack

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

**(2,5 điểm)**

3) Cho đường thẳng $(d) : y = (m - 2) x + 3 (m \neq 2)$ . Tìm m để (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B mà $\hat{BAO} = 60 °$ .

Xem đáp án » 12/03/2025 527

Câu 2:

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=4

Xem đáp án » 11/03/2025 209

Câu 3:

**(2,5 điểm)**

1) Trong kỳ thi môn toán lớp 9, một phòng thi của trường có 24 thí sinh dự thi. Các thí sinh đều phải làm bài trên giấy thi của trường phát cho. Cuối buổi thi, sau khi thu bài, giám thị coi thi đếm được tổng số tờ là 42 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh làm bài 1 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh làm bài 2 tờ giấy thi? Biết rằng có 3 thí sinh làm 3 tờ giấy thi.

Xem đáp án » 11/03/2025 205

Câu 4:

**(0,5 điểm)** Trong một xưởng cơ khí đang có sẵn những thanh thép dài $7,4\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$ Một công trình xây dựng đang cần có $1\,\,000$ đoạn thép dài $0,7\,\,{\rm{m}}$ và $2\,\,000$ đoạn thép dài $0,5\,\,{\rm{m}}$ (cùng kích cỡ với thép $7,4\,\,{\rm{m)}}{\rm{.}}$ Em hãy tìm xem cần dùng bao nhiêu thanh thép $7,4\,\,{\rm{m}}$ để thoả mãn yêu cần trên với chi phí tiết kiệm nhất.

Xem đáp án » 12/03/2025 188

Câu 5:

(4,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 3cm nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Hạ AH vuông góc với BC. Tính diện tích phần nằm trong hình tròn (O;R) và nằm ngoài tam giác ABC (phần tô đậm trong hình bên).

Xem đáp án » 12/03/2025 159

Câu 6:

**(1,5 điểm)**

1) Biểu đồ sau cho biết số lượng các loại ô tô một cửa hàng bán được trong năm 2023:

a) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

b) Giả sử tỉ lệ các loại xe bán được không đổi và cửa hàng bán được tổng số 240 ô tô các loại trong năm 2023. Hãy ước lượng số ô tô 4 chỗ cửa hàng bán được.

2) Gieo một con xúc xắc đồng chất 100 lần và ghi lại kết quả trong bảng sau:

Xét biến cố A “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là số lẻ chia hết cho A”. Tính xác suất của biến cố A

Xem đáp án » 11/03/2025 157

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

b) Chứng minh rằng ΔDCM<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ΔDCM</mi></math> đồng dạng với ΔDBA<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ΔDBA</mi></math>.

c) Chứng minh rằng ^CKM=^COM<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><mi>CKM</mi><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>COM</mi><mo>^</mo></mover></math>.

d) Kẻ phân giác góc AMBAMB cắt ABAB tại PP. Tìm vị trí của MM thỏa mãn đề bài để MPMA+MB\frac{{MP}}{{MA + MB}} đạt giá trị lớn nhất.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=4

(4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 3cm nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Hạ AH vuông góc với BC. Tính diện tích phần nằm trong hình tròn (O;R) và nằm ngoài tam giác ABC (phần tô đậm trong hình bên).

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

b) Chứng minh rằng $ΔDCM$ đồng dạng với $ΔDBA$ .

c) Chứng minh rằng $\hat{CKM} = \hat{COM}$ .

d) Kẻ phân giác góc $AMB$ cắt $AB$ tại $P$ . Tìm vị trí của $M$ thỏa mãn đề bài để $\frac{{MP}}{{MA + MB}}$ đạt giá trị lớn nhất.

(4,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 3cm nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Hạ AH vuông góc với BC. Tính diện tích phần nằm trong hình tròn (O;R) và nằm ngoài tam giác ABC (phần tô đậm trong hình bên).