(1,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$, đường cao $AD{\rm{ }}\left( {D \in BC} \right)$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $AB$ và $AC$.

a) Chứng minh $AE.AB = A{D^2} = AF.AC$ và $\widehat {AFE} = \widehat {ABC}$.

Vì (cmt) suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {ACB}$.

Mà $\widehat {AEF} = \widehat {IEB}$ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {IEB}$ (3)

Ta có: $\widehat {IDF} = \widehat {DFC} + \widehat {ACB}$ (góc ngoài tam giác $DFC$)

Suy ra $\widehat {IDF} = 90^\circ + \widehat {ACB}$ (4)

Và $\widehat {IED} = \widehat {IEB} + \widehat {BED} = \widehat {IEB} + 90^\circ$ (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra $\widehat {IDF} = \widehat {IED}$.

Xét $\Delta IED$ và $\Delta IDF$ có:

$\widehat I$ chung

$\widehat {IED} = \widehat {IDF}$ (cmt)

Suy ra (g.g)

Suy ra $\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IF}}$ nên $I{D^2} = IE.IF$ (đpcm)

Vì $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ nên $BH \bot AC$.

Mà $DF \bot AC$ nên $BH\parallel DF$, suy ra $\widehat {EFD} = \widehat {EKB}$ (hai góc đồng vị) (6)

Theo câu b) ta có nên $\widehat {IDE} = \widehat {IFD}$ suy ra $\widehat {BDE} = \widehat {EFD}$ (7)

Từ (6) và (7) suy ra $\widehat {EKB} = \widehat {BDE}$.

Gọi $L$ là giao điểm của $BK$ và $ED$.

Xét $\Delta EKL$ và $\Delta BDL$ có:

$\widehat {EKL} = \widehat {LDB}$ (cmt)

$\widehat {ELK} = \widehat {DLB}$ (đối đỉnh)

Suy ra (g.g)

Suy ra $\frac{{EL}}{{LB}} = \frac{{KL}}{{LD}}$.

Xét $\Delta EBL$ và $\Delta KDL$ có:  $\frac{{EL}}{{LB}} = \frac{{KL}}{{LD}}$ (cmt) và $\widehat {ELB} = \widehat {DLK}$ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra (g.g)

Suy ra $\widehat {DKL} = \widehat {BEL} = 90^\circ$ hay $DK \bot BH$ tại $K$.