Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+1.$  Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=|f(\sin x+\sqrt{3}\cos x)+m|$  có giá trị nhỏ nhất không vượt quá 5?

Phương pháp giải:

Áp dụng bổ đề: Cho hàm số $f\left(x\right),$ liên tục trên $[a;b]$ ta có: $\{\begin{array}{l}\underset{[a;b]}{\min }f\left(x\right)=A\\ \underset{[a;b]}{\max }f\left(x\right)=B\end{array}$⇒ Tìm $\underset{[a;b]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=?$

TH1: Nếu $AB\le 0$ $\Rightarrow \underset{[a;b]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=0.$

TH2: Nếu $\{\begin{array}{l}A>0\\ B>0\end{array}\Rightarrow \underset{[a;b]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=A.$

TH3: Nếu $\{\begin{array}{l}A<0\\ B<0\end{array}\Rightarrow \underset{[a;b]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|=-B.$

Giải chi tiết:

Đặt $t=\sin x+\sqrt{3}\cos x$

Ta có: $t=2(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)=2\sin (x+\frac{\pi }{3})\Rightarrow t\in [-2;2].$

Khi đó ta có: $y=|f(\sin x+\sqrt{3}\cos x)+m|=|t^3-3t^2+1+m|$

Xét hàm số $g\left(t\right)=t^3-3t^2+m+1$ trên $[-2;2]$ ta được:

$g^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2-6t\Rightarrow g^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff 3t^2-6t=0\iff [\begin{array}{l}t=0\\ t=2\end{array}$

Ta có: $\{\begin{array}{l}g(-2)=m-19\\ g\left(0\right)=m+1\\ g\left(2\right)=m-3\end{array}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}\underset{[-2;2]}{\min }g\left(t\right)=m-19\\ \underset{[-2;2]}{\max }g\left(t\right)=m+1\end{array}$

TH1: $(m+1)(m-19)\le 0\iff -1\le m\le 19$ $\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\min }\left|g\left(t\right)\right|=0$

⇒ Có 21 giá trị m thỏa mãn bài toán.

TH2: $\{\begin{array}{l}m-19>0\\ m+1>0\end{array}\iff m>19$ $\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\min }\left|g\left(t\right)\right|=m-19$

$\Rightarrow m-19\le 5\iff m\le 24\Rightarrow 19<m\le 24$

$\Rightarrow m\in \{20;21;22;23;24\}$

⇒ Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán.

TH3: $\{\begin{array}{l}m-19<0\\ m+1<0\end{array}\iff m<-1$ $\Rightarrow \underset{[-2;2]}{\min }\left|g\left(t\right)\right|=-(m+1)$

$\Rightarrow -m-1\le 5\iff m\ge -6\Rightarrow -6\le m<-1$

$\Rightarrow m\in \{-6;-5;-4;-3;-2\}$

⇒ Có 5 giá trị thỏa mãn bài toán.

Vậy có: $21+5+5=31$ giá trị thỏa mãn bài toán.