Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa trục $Oz$ và đi qua điểm $M\left( { - 1;1; - 1} \right)$ có phương trình là

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính tích có hương giữa hai vecto $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$ và $\overrightarrow {OM}$ để suy ra vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\vec n\left( {A;B;C} \right)$ có phương trình là $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Giải chi tiết:

Trục $Oz$ có 1 VTCP là $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {OM} = \left( { - 1;1; - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\vec k;\overrightarrow {OM} } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)$.

Gọi $\vec n$ là 1 VTCP của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Oz \subset \left( P \right)}\\{M \in \left( P \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec n \bot \vec k}\\{\vec n \bot \overrightarrow {OM} }\end{array}} \right. \Rightarrow \vec n = - \left[ {\vec k;\overrightarrow {OM} } \right] = \left( {1;1;0} \right)$.

Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là $1.\left( {x - 0} \right) + 1.\left( {y - 0} \right) + 0.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = 0$.