Xác định giá trị của $m$ để đường tròn $\left( {{C_1}} \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$ và đường tròn $\left( {{C_2}} \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} + 2mx - 2\left( {2m + 3} \right)y - 3m - 5 = 0$ tiếp xúc trong với nhau.

Phương pháp giải:

Đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1},$ bán kính ${R_1}$ tiếp xúc trong với đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2},$ bán kính ${R_2}$ $\Rightarrow {I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|.$

Giải chi tiết:

Để phương trình $\left( {{C_2}} \right)$ là phương trình đường tròn thì: ${m^2} + {\left( {2m + 3} \right)^2} + 3m + 5 > 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} + 12m + 9 + 3m + 5 > 0$

$\Leftrightarrow 5{m^2} + 15m + 14 > 0$

$\Leftrightarrow 5\left( {{m^2} + 3m} \right) + 14 > 0$

$\Leftrightarrow 5\left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}m + \frac{9}{4}} \right) - \frac{{5.9}}{4} + 14 > 0$

$\Leftrightarrow 5{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m$

$\Rightarrow \left( {{C_2}} \right)$ luôn là phương trình đường tròn với $\forall m$.

Ta có: $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2} \right)$ và bán kính ${R_1} = 3.$

$\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( { - m;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2m + 3} \right)$ và bán kính ${R_2} = \sqrt {5{m^2} + 15m + 14} .$

Đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ tiếp xúc trong với nhau $\Leftrightarrow {I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + {{\left( {2m + 1} \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt {5{m^2} + 15m + 14} } \right|$

$\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 4{m^2} + 4m + 1 = 9 - 6\sqrt {5{m^2} + 15m + 14} + 5{m^2} + 15m + 14$

$\Leftrightarrow 9m + 21 = 6\sqrt {5{m^2} + 15m + 14}$

$\Leftrightarrow 3m + 7 = 2\sqrt {5{m^2} + 15m + 14}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3m + 7 \ge 0}\\{{{\left( {3m + 7} \right)}^2} = 4\left( {5{m^2} + 15m + 14} \right)}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - \frac{7}{3}}\\{9{m^2} + 42m + 49 = 20{m^2} + 60m + 56}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - \frac{7}{3}}\\{11{m^2} + 18m + 7 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - \frac{7}{3}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - \frac{7}{{11}}}\\{m = - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 1.$