Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là $\alpha$ . Tính $cos\alpha$ biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên$CM \bot AB,DM \bot AB$

Ta có :$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABC) \cap (ABD) = AB}\\{CM \bot AB,CM \subset (ABC)}\\{DM \bot AB,DM \subset (ABD)}\end{array}} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {CM;DM} \right)$

Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :

$\begin{array}{*{20}{l}}{C{M^2} = A{C^2} - A{M^2}}\\{ \Rightarrow CM = \sqrt {A{C^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\end{array}$

Tương tự $DM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :

Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên $IK = IM = IN,IK \bot AD$.

Xét tam giác AMI và AKI có :

$\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {AMI} = \widehat {AKI} = {{90}^0};}\\{AI\,chung;}\\{IM = IK\left( {cmt} \right);}\end{array}$

Do đó ${\rm{\Delta }}AMI = {\rm{\Delta }}AKI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)$\Rightarrow AK = AM = \frac{a}{2}$ (cạnh tương ứng).

Tương tự : ${\rm{\Delta }}DNI = {\rm{\Delta }}DKI$ (cạnh huyền – cạnh  góc vuông)

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow DN = DK = AD - AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{a}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}}\\{ \Rightarrow DC = 2DN = 2.\frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2} = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}\end{array}$

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :

$\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \widehat {CMD} = \frac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 - 3 > 0}\\{ \Rightarrow \cos \alpha = \cos \widehat {CMD} = 2\sqrt 3 - 3}\end{array}$