Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(\alpha ):x - my + z + 6m + 3 = 0\;$và $(\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = 0$; hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $\Delta$. Gọi $\Delta '$ là hình chiếu của $\Delta$ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng $\Delta '$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng OxyOxy. Tính giá trị biểu thức $P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2}.$

Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của $\Delta$ theo m.

Mặt phẳng$(\alpha ):x - my + z + 6m - 3z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow {{n_1}} = (1; - m;1)$, và mặt phẳng$(\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = (\alpha ) \cap (\beta )$

$\overrightarrow {{n_1}} = (1; - m;1)$, và mặt phẳng$(\beta ):mx + y - mz$ có một vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow {{n_2}} = (m;1; - m).$ Ta có$M\left( { - 3m + \frac{4}{m} - 3;0; - 3m - \frac{4}{m}} \right) \in {\rm{\Delta }} = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$

Do đó Δ có một vectơ chỉ phương là$\vec u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {{m^2} - 1;2m;{m^2} + 1} \right)$

Bước 2: Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm c.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Khi đó (P) có một vectơ pháp tuyến là$\vec n = [\vec u;\vec k] = \left( {2m;1 - {m^2};0} \right)$

Phương trình mặt phẳng (P) là :$2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0$

Vì$I(a;b;c) \in (Oxy)$ nên I(a;b;0).

Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu $(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R$. Tìm a và b

Theo giả thiết ta suy ra (P) là tiếp diện của mặt cầu$(S) \Rightarrow d(I;(P)) = R$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = R > 0$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8} \right|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = R({m^2} + 1)}\\{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = - R({m^2} + 1)}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = R}\\{b - 8 = R}\\{R > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = - R}\\{b - 8 = - R}\\{R > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3 = 0}\\{6 - b = b - 8}\\{ - R = 6 - b < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{6 - b = b - 8}\\{R = 6 - b > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$</>

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{b = 7}\end{array}} \right.$

Vậy I(−3;7;0), do đó $P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2} = 41$