Câu hỏi:
20/06/2024 88Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
Tập tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f'\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right] = 0\) có nhiều nghiệm nhất là \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{R}.\) Khi đó, giá trị \(a + 4b\) bằng
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có: \(f'\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m = 0}\\{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) = - m}\\{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) = 2 - m}\end{array}(*).} \right.} \right.\)
Đặt \(t = f\left( x \right)\) ta có hàm \(h\left( t \right) = {t^2} - t\).
Để \(f'\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right] = 0\) có nhiều nghiệm nhất thì \((*)\) phải có nhiều nghiệm nhất nên các nghiệm của \((*)\) phải là \(t \in \left( { - 3\,;\,\,1} \right).\)
Xét hàm \(h\left( t \right) = {t^2} - t\) trên \(\left( { - 3\,;\,\,1} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Khi đó để \((*)\) có nhiều nghiệm nhất thì \( - \frac{1}{4} < - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}\).
Suy ra \(m \in \left( {0\,;\,\,\frac{1}{4}} \right) \Rightarrow a = 0\,,\,\,b = \frac{1}{4} \Rightarrow a + 4b = 1.\)
Đáp án: 1.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + 5} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị?
Câu 2:
Phương trình \({\log _x}2 + {\log _2}x = \frac{5}{2}\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\) Khi đó, giá trị của \(x_1^2 + {x_2}\) bằng
Câu 3:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}.\) Hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( {2x + 3} \right) + 2\) có đồ thị là một parabol với tọa độ đỉnh \(I\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,\,2} \right).\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 4:
Giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^3} + m{x^2} - 1\) đồng biến trên khoảng \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\] là
Câu 5:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( { - 2} \right) = 3\) và \(g'\left( { - 4} \right) = 1.\) Đạo hàm của hàm số \(y = 2f\left( x \right) - 3g\left( {2x} \right)\) tại điểm \(x = - 2\) bằng
Câu 6:
Câu 7:
Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3\left| x \right| = 0\\{x^2} + {y^2} - 10y = 0\end{array} \right.\] có bao nhiêu nghiệm?
về câu hỏi!