Câu hỏi:
26/06/2024 37Cho hàm số \({\rm{y}} = \frac{{\left( {2\;{\rm{m}} + 1} \right){\rm{x}} - 6}}{{{\rm{x}} + 1}}\) có đồ thị \(\left( {{C_{\rm{m}}}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :{\rm{y}} = {\rm{x}} - 1\). Giả sử \(\Delta \) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm phân biệt \[A,\,\,B.\] Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\] và \(N\) là điểm thuộc đường tròn \((C):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\). Giá trị của \(m\) để tam giác \[OMN\] vuông cân tại \(O\) \((O\) là gốc tọa độ) thuộc khoảng nào dưới đây?
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có phương trình hoành độ: \(\frac{{\left( {2\;{\rm{m}} + 1} \right){\rm{x}} - 6}}{{{\rm{x}} + 1}} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - \left( {2\;{\rm{m}} + 1} \right)x + 5 = 0\,\,(1)}\\{x \ne - 1}\end{array}} \right.\)
Để \(\left( {{C_m}} \right)\) và \(\Delta \) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) khác \[ - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 20 > 0}\\{2m + 7 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty \,;\,\, - \frac{1}{2} - \sqrt 5 } \right) \cup \left( { - \frac{1}{2} + \sqrt 5 \,;\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \frac{7}{2}} \right\}(*)} \right.\].
Khi đó \({\rm{A}}\left( {{{\rm{x}}_1}\,;\,\,{{\rm{x}}_1} - 1} \right),\,\,{\rm{B}}\left( {{{\rm{x}}_2}\,;\,\,{{\rm{x}}_2} - 1} \right) \Rightarrow {\rm{M}}\left( {\frac{{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}}}{2}\,;\,\,\frac{{{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} - 2}}{2}} \right)\).
Theo Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m + 1\) suy ra \(M\left( {\frac{{2m + 1}}{2};\frac{{2m - 1}}{2}} \right)\).
Gọi \[N\left( {x\,;\,\,y} \right)\], tam giác \[OMN\] vuông cân tại \[O \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{N}} \in ({\rm{C}})}\\{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {ON} = 0 \Leftrightarrow }\\{{\rm{OM}} = {\rm{ON}}}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{Q}}_{\left( {{\rm{o}}\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}\left( {\rm{M}} \right) = {\rm{N}}}\\{{{\rm{Q}}_{\left( {{\rm{o}}\,;\,\, - \frac{\pi }{2}} \right)}}\left( {\rm{M}} \right) = {\rm{N}}}\end{array}} \right.\].
Trường hợp 1: \({{\rm{Q}}_{\left( {\,{\rm{o}};\,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}\left( {\rm{M}} \right) = {\rm{N}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_{\rm{N}}} = - \frac{{2\;{\rm{m}} - 1}}{2}}\\{{{\rm{y}}_{\rm{N}}} = \frac{{2\;{\rm{m}} + 1}}{2}}\end{array}} \right.\), thay vào phương trình của \(({\rm{C}})\) ta được \({\left( {2 - \frac{{2m - 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2m + 1}}{2} - 3} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {2m - 5} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{7}{2}}\\{m = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).
Trường hợp 2: \[{Q_{\left( {O\,;\,\, - \frac{\pi }{2}} \right)}}(M) = N \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{{2m - 1}}{2}}\\{{y_N} = - \frac{{2m + 1}}{2}}\end{array}} \right.\], thay vào phương trình của \((C)\) ta được \({\left( {\frac{{2m - 1}}{2} + 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{2m + 1}}{2} + 3} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow 8{m^2} + 40m + 50 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{5}{2}.\)
Đối chiếu điều kiện (*) thấy \({\rm{m}} = \frac{7}{2}\) thỏa mãn. Chọn D.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho ba điểm \({\rm{A}}\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right),\,\,{\rm{B}}\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right),\,\,{\rm{C}}\left( {3\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right)\). Tìm tọa độ điểm \[M\] thỏa mãn \(\overrightarrow {{\rm{MA}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} = \vec 0\).
Câu 2:
Cho bảng số liệu:
DIỆN TÍCH GIEO TRỒNG VÀ SẢN LƯỢNG LÚA HÈ THU GIAI ĐOẠN 1990-2020
(Nguồn: gso.gov.vn)
Theo bảng số liệu, nhận xét nào sau đây là đúng về năng suất lúa hè thu của nước ta?
Câu 3:
Cho hàm số bậc bốn \({\rm{y}} = {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\) là
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} \). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) thỏa mãn \({\rm{f}}\left( x \right) \le {\rm{m}}\) với mọi \({\rm{x}} \in \left[ { - 1\,;\,\,1} \right]\).
Câu 5:
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:
Ơi kháng chiến! Mười năm qua như ngọn lửa
Nghìn năm sau, còn đủ sức soi đường,
Con đã đi nhưng con cần vượt nữa
Cho con về gặp lại Mẹ yêu thương.
(Tiếng hát con tàu – Chế Lan Viên)
Cách xưng hô “Con - Mẹ yêu thương” trong đoạn trích trên mang ý nghĩa gì?
Câu 6:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 3\left( {{m^2} + 4m} \right)x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\,1} \right)?\)
về câu hỏi!