Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 2

     1. a) Trong các phương trình trên, các phương trình bậc hai một ẩn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\);

     \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0.\)

• Xét phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\) hay  \({x^2} - 10x + 14 = 0\) có \(a = 1;b =  - 10;c = 14\).

• Xét phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) có \(a = 3;b =  - 2\sqrt 3 ;c = 1\).

b) • Giải phương trình \({\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0\), ta được: \({\left( {x - 5} \right)^2} = 11\) hay \({\left( {x - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}\)

     Suy ra \(x - 5 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 5 =  - \sqrt {11} \).

     Do đó, \(x = 5 + \sqrt {11} \) hoặc \(x = 5 - \sqrt {11} \).

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {5 + \sqrt {11} ;5 - \sqrt {11} } \right\}\).

• Giải phương trình \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\), ta có: \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\) hay \({\left( {\sqrt 3 x - 1} \right)^2} = 0\).

     Suy ra \(\sqrt 3 x - 1 = 0\) nên \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) hay \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

     Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\}.\)

     2. Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là \(x{\rm{\;(m)}}\) và \(y{\rm{\;(m)}}\) \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Vì mảnh vườn có chu vi là \(70{\rm{\;m}}\) nên ta có phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 70\] hay \(x + y = 35\).

Vì mảnh vườn có diện tích là \(250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 250\).

Ta có: \(x + y = 35\) và \(xy = 250\) và \({35^2} - 4 \cdot 250 = 225 > 0\) nên \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình:

\({t^2} - 35t + 250 = 0.\)

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \({t_1} = 10\) (thỏa mãn); \({t_2} = 25\) (thỏa mãn).

Mà chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(25{\rm{\;m}},\,\,10{\rm{\;m}}.\)

Khu trồng hoa \(BEDF\) có \(BE = DF\) và \(BE\,{\rm{//}}\,DF\) nên có dạng một hình bình hành, do đó diện tích của khu trồng hoa là: \(6 \cdot 10 = 60{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu trồng hoa đó là:

\(60 \cdot 50\,\,000 = 3\,\,000\,\,000\) (đồng).

     a) Thay \(x = 1,y =  - 2\) vào \(\left( P \right)\), ta được: \(a =  - 2\).

     Vậy hàm số đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) là \(y =  - 2{x^2}\).

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số \(y =  - 2{x^2}\) như sau:                       

     Do đó, đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( { - 2; - 8} \right);\left( { - 1; - 2} \right);\left( {0;0} \right);\)                                   \(\left( {1; - 2} \right);\left( {2; - 8} \right)\).

     Ta có đồ thị hàm số như sau:

     c) Thay \(x = \frac{2}{3}\) vào \(\left( P \right)\), ta có: \(y =  - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\) hay \(y = \frac{{ - 8}}{9}\).

     Do đó, điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ là \(\frac{2}{3}\) đó là \(\left( {\frac{2}{3};\frac{{ - 8}}{9}} \right)\).

     a) Với \(m = 2,\) ta có: \(\left( {2.2 - 3} \right){x^2} - 2\left( {2 - 2} \right)x - 1 = 0\) hay \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\).

     Suy ra \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1\).

     Vậy với \(m = 2,\) phương trình có nghiệm là \(\left\{ { - 1;1} \right\}\).

     b) Xét phương trình \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\({\left( {m - 1} \right)^2} > 0\)\), ta có:

     • Với \(2m - 3 = 0\) thì \(m = \frac{3}{2}\) thì ta được: \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\). (1)

     • Với \(2m - 3 \ne 0\) thì \(m \ne \frac{3}{2}\) ta được phương trình bậc hai \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\)

     Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} + \left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\), với mọi \(m \in \mathbb{R}\). (2)

     Từ (1) và (2), suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

c) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0\) và \(2m - 3 \ne 0\), suy ra  và \(m \ne \frac{3}{2}\), do đó \(m \ne 1\) và \(m \ne \frac{3}{2}\).

     Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{{\left( {2m - 3} \right)}}\end{array} \right.\).

     Mà theo đề, ta có: \(2{x_1} + 3{x_2} = 5\) suy ra \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2}\).

     Thay \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2}\) vào \({x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\), ta được: \(\frac{{5 - 3{x_2}}}{2} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\).

     Suy ra \(5 - {x_2} = \frac{{4\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}}\) nên \({x_2} = 5 - \frac{{4\left( {m - 2} \right)}}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 7}}{{2m - 3}}\).

     Do đó, \({x_1} = \frac{{5 - 3{x_2}}}{2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}{x_2} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}.\frac{{6m - 7}}{{2m - 3}} = \frac{{ - 8m + 6}}{{2\left( {2m - 3} \right)}} = \frac{{ - 4m + 3}}{{2m - 3}}\).

Mà \({x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{{\left( {2m - 3} \right)}}\) nên \(\frac{{6m - 7}}{{\left( {2m - 3} \right)}}.\frac{{\left( { - 4m + 3} \right)}}{{\left( {2m - 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{2m - 3}}\).

Suy ra \(\left( {6m - 7} \right).\left( { - 4m + 3} \right) =  - \left( {2m - 3} \right)\)

Do đó, \(24{m^2} - 46m + 21 = 2m - 3\) hay \(24{m^2} - 48m + 24 = 0\)

Suy ra \({m^2} - 2m + 1 = 0\) hay \({\left( {m - 1} \right)^2} = 0\).

Suy ra \(m = 1\) (loại).

Vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1.

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[Ox.\] Ta có \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) nên \[OH = AH = \left| {--2} \right| = 2.\]

Do đó \[\Delta AOH\] vuông cân tại \[H,\] nên \(\widehat {AOH} = 45^\circ .\)

Xét \[\Delta AOH\] vuông tại \[H,\] theo định lí Pythagore ta có:

\[O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}\]

Suy ra \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 .\)

Gọi \[I\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[Ox,\] do đó \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]

Như vậy, phép quay thuận chiều \[90^\circ \] tâm \[O\] biến điểm \(A\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\) thành điểm \[I\left( {--2;{\rm{ }}2} \right).\]

   2.

a)  Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét đường tròn \(\left( {O'} \right)\) có \(AF\) là đường kính nên \(\widehat {ABF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó \(\widehat {CBF} = \widehat {ABC} + \widehat {ABF} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\)

Suy ra ba điểm \(C,\,\,B,\,\,F\) thẳng hàng.

b) Chứng minh tương tự câu 1, ta có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right))\) và \(\widehat {AEF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)).\)

Do đó \(\widehat {CDF} = \widehat {CEF} = 90^\circ \) nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác vuông \(CDF,\,\,CEF\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(CF\) hay các điểm \(C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(CF.\)

Vậy tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF.\)

c) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD)\)

Tứ giác \(ABFE\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O'} \right)\) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {AFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE)\)

Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CF\) nên \(\widehat {DCE} = \widehat {DFE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE)\) hay \(\widehat {ACD} = \widehat {AFE}\).

Từ đó suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ABE}\) hay \(BA\) là tia phân giác của góc \(DBE.\)

Chứng minh tương tự, ta có \(\widehat {CED} = \widehat {BEC}\left( { = \widehat {CFD}} \right)\) hay \(EC\) là tia phân giác của góc \(BED.\)

Xét tam giác \(BDE\) có \(BA\) và \(EC\) là hai đường phân giác của tam giác, chúng cắt nhau tại \(A\) nên \(A\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BDE.\)

Điều kiện: \(x \ge  - 1.\)

Ta có: \({x^2} - 2x - 1 = \left( {{x^2} + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right)\)

Đặt \(a = \sqrt {{x^2} + 1} {\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\), \(b = \sqrt {x + 1} {\rm{ }}\left( {b > 0} \right)\).

Từ (1) ta có phương trình \({a^2} - 2{b^2} = ab\) nên \({a^2} - 2{b^2} - ab = 0\)

Suy ra \(\left( {a + b} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0\).

Vì \(a > 0,b > 0\) nên \(a + b > 0\).

Do đó, \(a - 2b = 0\) hay \(a = 2b\).

Suy ra \(\sqrt {{x^2} + 1}  = 2\sqrt {x + 1} \) , do đó \({x^2} + 1 = 4\left( {x + 1} \right)\)

Suy ra \({x^2} - 4x - 3 = 0\).

Tính được \({x_1} = 2 + \sqrt 7 \) (thỏa mãn) và \({x_2} = 2 - \sqrt 7 \) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {2 + \sqrt 7 ;2 - \sqrt 7 } \right\}\).