Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 1. Phép tính lũy thừa với số mũ thực có đáp án

Ở các lớp dưới, ta đã làm quen với phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số thực và các tính chất của phép tính lũy thừa đó.

Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng như thế nào? Những phép lũy thừa đó có tính chất gì?

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a.

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a.

Tính giá trị của biểu thức: $M={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{1}{27}\right)}^{-5}+{\left(0,4\right)}^{-4}\cdot {25}^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{32}\right)}^{-1}.$

a) Với a là số thực không ân, nêu định nghĩa căn bậc hai của a.

b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a.

Các số 2 và –2 có phải là căn bậc 6 của 64 hay không?

a) Với mỗi số thực a, so sánh: $\sqrt{a^2}$ và |a|; $\sqrt[3]{a^3}$ và a.

b) Cho a, b là hai số thực dương. So sánh $\sqrt{a\cdot b}$ và $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}.\sqrt[4]{81};$

b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}.$

Thực hiện các hoạt động sau:

a) So sánh $2^{{}^{\frac{6}{3}}}$ và 2²;

b) So sánh $2^{{}^{\frac{6}{3}}}$ và $\sqrt[3]{2^6}.$

So sánh ${10}^{\sqrt{2}}$ và 10.

Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương.

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số $2^{2\sqrt{3}}$ và $2^{3\sqrt{2}}.$

Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) ${\left(-2,7\right)}^{-4};$

b) ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt[3]{4}+1}.$

Rút gọn mỗi biểu thức sau: $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}\left(a>0;a\ne 1\right);$

Rút gọn mỗi biểu thức sau: $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^6}}\left(a>0,b>0\right).$

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: $1^{1,5};3^{-1};{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2};$

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: ${2022}^0;{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1};5^{\frac{1}{2}}.$

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) $6^{\sqrt{3}}$ và 36;

b) ${\left(0,2\right)}^{\sqrt{3}}$ và ${\left(0,2\right)}^{\sqrt{5}}$

Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số $P=d^{\frac{3}{2}},$ trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.