Câu hỏi:
02/02/2023 86Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 6\) và \({u_{n + 1}} = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right)\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
I) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.
II) \(\frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}}\)
III) \(\frac{1}{{{u_1} + 4}} + \frac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} + 4}} = 1 - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án B
Phương pháp:
Xét tính đúng sai của từng mệnh đề bằng cách sử dụng định nghĩa dãy số tăng, giảm, tính các số hạng đầu của dãy, nhận xét quy luật,...
Cách giải:
Mệnh đề (I): Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right) - {u_n} = \frac{{u_n^2 - 10{u_n} + 25}}{9} = \frac{{{{\left( {{u_n} - 5} \right)}^2}}}{9} \ge 0,\,\forall {u_n}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} \ge {u_n},\,\forall n\) hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng \( \Rightarrow \) (I) sai.
Mệnh đề (II): Ta có: \({u_1} = 6,\,{u_2} = \frac{{55}}{9}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{6 + 4}} = \frac{1}{{10}}\) và \(\frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}} = \frac{1}{{6 - 5}} - \frac{1}{{\frac{{55}}{9} - 5}} = \frac{1}{{10}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}}\) hay (II) đúng.
Mệnh đề (III): Ta có: \({u_{n + 1}} - 5 = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right) - 5 = \frac{{u_n^2 - {u_n} - 20}}{9} = \frac{{\left( {{u_n} - 5} \right)\left( {{u_n} + 4} \right)}}{9}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} - 5}} = \frac{9}{{\left( {{u_n} - 5} \right)\left( {{u_n} + 4} \right)}} = \frac{1}{{{u_n} - 5}} - \frac{1}{{{u_n} + 4}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 4}} = \frac{1}{{{u_n} - 5}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} - 5}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} + \frac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}} + \frac{1}{{{u_2} - 5}} - \frac{1}{{{u_3} - 5}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)
\( = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}} = \frac{1}{{6 - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}} = 1 - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)
Nên (III) đúng.
Vậy (I) sai và (II), (III) đúng.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
về câu hỏi!