Câu hỏi:
20/03/2023 616Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.
Chứng minh rằng: Tam giác ABC là tam giác đều.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc
Û a3 + b3 + c3 − 3abc = 0
Û a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 − (3a2b + 3ab2) + c3 − 3abc = 0
Û (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c) = 0
Û (a + b + c)[(a + b)2 − (a + b).c + c2] − 3ab(a + b + c) = 0
Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2] − 3ab(a + b + c) = 0
Û (a + b + c)[a2 + b2 + 2ab − ac − bc + c2 − 3ab] = 0
Û (a + b + c)[a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca] = 0 (*)
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a + b + c > 0.
Phương trình (*) trở thành:
a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0
Û 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca = 0
Û (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) = 0
Û (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0
Vì (a − b)2; (b − c)2; (c − a)2 ≥ 0 nên
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\).
Vậy ABC là tam giác đều.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ca}}{{c + a}} + \frac{{c + ab}}{{a + b}} \ge 2\).
về câu hỏi!