Câu hỏi:
15/05/2023 2,271Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz +zx = 1. Tính:
\(A = x\sqrt {\frac{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} + y\sqrt {\frac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
Ta có: xy + yz + xz = 1 \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1 = {x^2} + xy + yz + xz = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}\\{{y^2} + 1 = {y^2} + xy + yz + xz = \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)}\\{{z^2} + 1 = {z^2} + xy + yz + xz = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}\end{array}} \right.\)
Do đó: \(\sqrt {\frac{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = \sqrt {\frac{{\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = \sqrt {{{\left( {y + z} \right)}^2}} = y + z\) (do y, z dương)
\( \Rightarrow x\sqrt {\frac{{\left( {{y^2} + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = x\left( {y + z} \right)\).
Tương tự: \(y\sqrt {\frac{{\left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{y^2} + 1}}} = y\left( {x + z} \right);z\sqrt {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)}}{{{z^2} + 1}}} = z\left( {x + y} \right)\).
Do đó: \(A = x\left( {y + z} \right) + y\left( {x + z} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + xz} \right) = 2\).
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một hồ bơi dạng hình hộp chữ nhật có kích thước trong lòng hồ là: Chiều dài 12m, chiều rộng 5m, chiều sâu 3m.
a. Tính thể tích của hồ bơi.
b. Tính diện tích cần lát gạch bên trong lòng hồ (mặt đáy và 4 mặt xung quanh).
c. Biết gạch hình vuông dùng để lát hồ bơi có cạnh 50cm. Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu viên gạch để lát bên trong hồ bơi.
Câu 2:
Câu 3:
Cho hình tròn tâm O, đường kính AB = 8 cm.
a. Tính chu vi hình tròn tâm O đường kính AB, hình tròn tâm M, đường kính AO và hình tròn tâm N, đường kính OB.
b. So sánh tổng chu vi của hình tròn tâm M và hình tròn tâm N với chu vi hình tròn tâm O.
c. Tính diện tích phần đã tô đậm của hình tròn tâm O.
Câu 4:
Câu 5:
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HD, HE lần lượt là đường cao của ∆AHB và ∆AHC. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{HB}}{{HC}}\).
b) \(\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BD}}{{EC}}\).
Câu 6:
về câu hỏi!