Câu hỏi:
13/07/2024 1,540Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm AC, D là điểm đối xứng của M qua N.
a) Tứ giác ADCM là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM.
c) BD cắt AC tại I. Chứng minh \(DI = \frac{2}{3}OB\).
d) E là hình chiếu của N trên BC. Tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện gì để tứ giác ONEM là hình vuông?
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có D là điểm đối xứng của M qua N (giả thiết).
Suy ra N là trung điểm MD.
Mà N cũng là trung điểm AC (giả thiết).
Do đó tứ giác ADCM là hình bình hành (1)
∆ABC có AM là đường cao (giả thiết).
Suy ra AM ⊥ BC tại M.
Khi đó \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) (2)
Từ (1), (2), ta được tứ giác ADCM là hình chữ nhật.
b) Ta có ADCM là hình chữ nhật.
Suy ra AD // MC và AD = MC (3)
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
\(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \);
AM là cạnh chung;
AB = AC (do ∆ABC cân tại A)
Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BM = CM (cặp cạnh tương ứng) (4)
Từ (3), (4), suy ra AD = BM và AD // BM.
Do đó tứ giác ABMD là hình bình hành
Khi đó hai đường chéo AM và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Vậy BD đi qua trung điểm O của AM.
c) ∆AMD có O, N lần lượt là trung điểm của AM, MD.
Suy ra ∆AMD có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại I.
Do đó I là trọng tâm của ∆AMD.
Vì vậy \(DI = \frac{2}{3}DO\).
Mà OD = OB (do ABMD là hình bình hành nên trung điểm O của AM cũng là trung điểm của BD).
Vậy \(DI = \frac{2}{3}OB\).
d) Xét ∆ANO và ∆MNO, có:
AN = MN (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);
NO là cạnh chung;
AO = OM (O là trung điểm AM).
Do đó ∆ANO = ∆MNO (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {AON} = \widehat {MON}\) (cặp góc tương ứng).
Mà \[\widehat {AON} + \widehat {MON} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).
Do đó \(\widehat {AON} = \widehat {MON} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {OME} = \widehat {MEN} = 90^\circ \).
Vì vậy tứ giác ONEM là hình chữ nhật.
Ta có E là hình chiếu của N lên BC.
Suy ra NE ⊥ MC.
Xét ∆MNE và ∆CNE, có:
NE là cạnh chung;
MN = NC (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);
\(\widehat {NEM} = \widehat {NEC} = 90^\circ \).
Do đó ∆MNE = ∆CNE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra ME = CE (cặp cạnh tương ứng).
Vì vậy E là trung điểm MC.
Do đó \(ME = \frac{1}{2}MC\).
Để tứ giác ONEM là hình vuông thì cần thêm điều kiện OM = ME.
Suy ra \(\frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}MC\).
Do đó AM = MC = BM.
Vì vậy ∆ABC vuông cân tại A (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Vậy tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) để tứ giác ONEM là hình vuông.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
3) Chứng minh OI.OM = R2; OI.IM = IA2.
4) Chứng minh OAHB là hình thoi.
5) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6) Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Câu 2:
Câu 3:
Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.
a) Cho \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).
b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.
d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?
Câu 4:
Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), có \(\widehat B = 45^\circ \) và vẽ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. P là điểm đối xứng với H qua M.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHBP là hình vuông.
b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC. Chứng minh rằng HP = 2MK.
c) Gọi D là giao điểm của AH và BK. Qua D và C vẽ các đường thẳng song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q. Chứng minh: ba điểm P, K, Q thẳng hàng.
d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy.
Câu 5:
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn. M là điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại E và N.
a) Chứng minh AOME và BOMN là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AE.BN = R2.
c) Kẻ MH vuông góc By. Đường thẳng MH cắt OE tại K. Chứng minh AK ⊥ MN.
d) Giả sử \[\widehat {MAB} = \alpha \] và MB < MA. Tính diện tích phần tứ giác BOMH ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R và α.
e) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để K nằm trên đường tròn (O).
Câu 6:
về câu hỏi!