Câu hỏi:
28/06/2022 279Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g(x) xác định theo f(x) có đạo hàm \[g\prime (x) = f(x) + m\]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để hàm số g(x) có duy nhất một cực trị.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Hàm số g(x) có duy nhất một cực trị \[ \Leftrightarrow \,pt\,g'\left( x \right) = 0\]có đúng một nghiệm \[{x_0}\] thỏa mãn g′(x) đổi dấu qua nghiệm đó.
Theo đề bài ta có: \[g'\left( x \right) = f\left( x \right) + m\]
\[ \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) + m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - m\]=>Số nghiệm của pt \[g\prime (x) = 0\;\] là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=−m.
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y=−m cắt đồ thị hàm số y=f(x)) tại một điểm duy nhất
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m < 0}\\{ - m > 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 0}\\{m < - 4}\end{array}} \right.\).
Ngoài ra, với m=0 hoặc m=−4 thì đồ thị hàm số y=f(x) có hai điểm chung với đường thẳng y=m nhưng một điểm là điểm tiếp xúc nên phương trình \[g\prime (x) = 0\;\] có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm kép và một nghiệm đơn.
Nên trong trường hợp này, hàm số y=g(x) vẫn chỉ có một cực trị.
Vậy \[m \ge 0\;\] hoặc \[m \le - 4\].
Đáp án cần chọn là: B
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 1\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để hàm số \[y = f(|x|)\;\] có đúng 3 điểm cực trị?
Câu 2:
Tìm m để (Cm) : \[y = {x^4} - 2m{x^2} + 2\;\] có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Câu 3:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 2\;\] có cực đại và cực tiểu?
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \[y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + x - 1\] có cực đại và cực tiểu.
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2\;\] đạt cực tiểu tại x=1.
Câu 6:
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \[y = - {x^4} + 2m{x^2}\;\] có 3 điểm cực trị ?
về câu hỏi!