Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Quốc phòng phần Toán học và xử lý số liệu (có đáp án) - Đề số 7

Do \( - 1 \le \cos 20t \le 1 \Rightarrow 70 \le 100 - 30\cos 20t \le 130\)

Do đó quả cầu đạt chiều cao cao nhất là \(h = 130\).

Điều này xảy ra khi \(\cos 20t =  - 1 \Leftrightarrow 20t = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{{10}};k \in \mathbb{N}\).

Vậy thời điểm đầu tiên mà quả cầu đạt chiều cao cao nhất kể từ khi quả cầu được thả  ra là \(t = \frac{\pi }{{20}} \approx 0,16\) (giây).

Đáp án cần nhập là: \(0,16\).

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 2mx + m - 2\) có:

\(\Delta ' = {m^2} - m + 2 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4} > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Do đó \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Để \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {1;\,\,2} \right)\) thì \({x_1} \le 1 < 2 \le {x_2}\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 1 \right) \le 0}\\{f\left( 2 \right) \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2m + m - 2 \le 0}\\{4 + 4m + m - 2 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3m - 1 \le 0}\\{5m + 2 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{1}{3}}\\{m \le \frac{{ - 2}}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 2}}{5}\].

Vậy \(m \le \frac{{ - 2}}{5}\) thì \({x^2} + 2mx + m - 2 < 0\) với mọi \(x \in \left( {1;\,\,2} \right)\). Chọn D.

Số tiền lương trong 10 năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu là \({u_1} = 100\) và công sai \(d = 20\). Tổng các số hạng này là:

\({S_{10}} = {u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_{10}} = \frac{{10}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)20} \right] = \frac{{10}}{2}\left( {2 \cdot 100 + 9 \cdot 20} \right) = 1900\) (triệu đồng).

Vậy tổng số tiền lương anh Nam nhận sau 10 năm là 1 900 triệu đồng hay 19 trăm triệu đồng.

Đáp án cần nhập là: \[19\].

Gọi \({u_n}\) là số tiền lương (triệu đồng) anh Tuấn được lĩnh ở năm làm việc thứ \(n\).

Ta có: \({u_1} = 60\); \({u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}} \cdot 0,08 = {u_{n - 1}} \cdot \left( {1 + 0,08} \right) = {u_{n - 1}} \cdot 1,08.\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 60\), công bội \(q = 1,08\).

Áp dụng công thức tính tổng \({S_n}\), ta có tổng số tiền lương anh Tuấn lĩnh được trong 10 năm đi làm là: \({S_{10}} = \frac{{60 \cdot \left[ {1 - {{\left( {1,08} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - 1,08}} \approx 869,194\) (triệu đồng). Chọn B.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 5\sin 2x + {{\cos }^2}x}}{{{x^2} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x}}{{{x^2} + 2}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5\sin 2x}}{{{x^2} + 2}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{x^2} + 2}}\]

\[{A_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x}}{{{x^2} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{3}{x}}}{{1 + \frac{2}{{{x^2}}}}} = 0\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 5}}{{{x^2} + 2}} = 0 \le {A_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5\sin 2x}}{{{x^2} + 2}} \le \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{{{x^2} + 2}} = 0 \Rightarrow {A_2} = 0\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{0}{{{x^2} + 2}} = 0 \le {A_3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{x^2} + 2}} \le \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{x^2} + 2}} = 0 \Rightarrow {A_3} = 0\].

Vậy\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 5\sin 2x + {{\cos }^2}x}}{{{x^2} + 2}} = 0\]. Chọn B.

Ta có \[y' = {\left( {\tan x - \cot x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x \cdot {{\sin }^2}x}} = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}\]. Chọn C.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + 1 > 0\\2{x^2} + 3 > {x^2} + ax + 1\end{array} \right.;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^2} + ax + 1 > 0\\g\left( x \right) = {x^2} - ax + 2 > 0\end{array} \right.;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{f\left( x \right)}} < 0\\{\Delta _{g\left( x \right)}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4 < 0\\{a^2} - 8 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 2 < a < 2\).

Kết hợp với  là các giá trị cần tìm.

Đáp án cần nhập là: 3.

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có \[y' = 3{x^2} + 6x - 9\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ; - 3} \right),\,\,\left( {1; + \infty } \right)\].

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 3;1} \right)\]. Chọn C.