Giải sbt Đại số 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

    $(m^2 - 6m + 8)x = m^2 - m - 2$

    ⇔ (m - 2)(m - 4)x = (m + 1)(m - 2)

    Kết luận

    Với x ≠ 2 và x ≠ 4 phương trình có nghiệm 

    Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;

    Với m = 4, phương trình vô nghiệm.

Điều kiện của phương trình là x ≠ -1, ta có

⇒ (m - 2)x + 3 = (2m - 1)(x + 1)

    ⇒ (m + 1)x = 4 - 2m (1)

    Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

    Với m ≠ -1 phương tình (1) có nghiệm 

    Nghiệm này thỏa mãn điều kiện x ≠ -1 khi và chỉ khi  hay -2m + 4 ≠ -m - 1 ⇒ m ≠ 5

    Kết luận

    Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm

    Với m ≠ -1 và m ≠ 5 phương trình có nghiệm là 

Điều kiện của phương trình là x ≠ 1. Khi đó ta có

    ⇔ (2m + 1)x - m = (x + m)(x - 1)

    ⇔ x² - (m + 2)x = 0

    ⇔ x = 0, x = m + 2

    Giá trị x = m + 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình khi m ≠ -1

    Kết luận

    Vậy với m = -1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;

    Với m ≠ -1 phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = m + 2.

Điều kiện của phương trình là x ≠ m . Khi đó ta có

    ⇔ (3m - 2)x - 5 = -3x + 3m

    ⇔ (3m + 1)x = 3m + 5

    Với m ≠ -1/3 nghiệm của phương trình cuối là 

    Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi

Kết luận

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi  suy ra m < -2.

    Tổng của hai nghiệm bằng -3 khi  thỏa mãn điều kiện m < -2.

    Đáp số: m = -5.

Phương trình có nghiệm kép khi m ≠ -2 và Δ = 0.

Khi m = 5/2 nghiệm kép của phương trình là

    Khi m = -3/2 nghiệm kép của phương trình là x = 2.

Điều kiện của phương trình là x ≥ 4/3

    Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả

    3x - 4 $= x^2 - 6x + 9 \Rightarrow x^2 - 9x + 13 =$ 0

    Phương trình cuối có hai nghiệm  . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện x ≥ 4/3 nhưng khi thay vào phương trình ban đều thì giá trị  bị loại (vế trái dương nhưng vế phải âm).

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 

Điều kiện của phương trình là $x^2 - 2x + 3 > 0$

    Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả.

 $x^2 - 2x + 3 = 4x^2 - 4x + 1$

    ⇔ $3x^2 - 2x - 2 = 0$

    Phương trình cuối có hai nghiệm  . Khi thay các giá trị này vào phương trình ban đầu thì giá trị  bị loại.

    Đáp số: 

Điều kiện của phương trình $x^2 + 3x + 7 > 0$

Phương trình cuối vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Điều kiện của phương trình là: $3x^2 - 4x - 4 \ge 0$ và 2x + 5 ≥ 0

Phương trình cuối có hai nghiệm $x_1 = -1, x_2 = 3$. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn các điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.

    Vậy phương trình đã có hai nghiệm $x_1 = -1, x_2 = 3$

Với  phương trình đã cho trở thành

    3x + 2m = x - m ⇔ 2x = -3m ⇔ x = -3m / 2

 Ta có:

Với  Phương trình đã cho trở thành

    -3x - 2m = x - m ⇔ 4x = -m ⇔ x = -m / 4

    Ta có:

Kết luận

    Với m > 0 phương trình vô nghiệm;

    Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0;

    Với m < 0 phương trình có nghiệm

Phương trình (1) ⇔ x = -3m + 2

    Phương trình (2) ⇔ 3x = m - 2 ⇔ x = (m - 2) / 3

    Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:

    $x_1$ = -3m + 2 và $x_2$ = (m - 2) / 3

m = 0 phương trình trở thành

    -x - 2 = 0 ⇒ x = -2

    m ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có Δ = 4m + 1

    Với m < -1/4 phương trình vô nghiệm;

    Với m ≥ -1/4 nghiệm của phương trình là

Điều kiện của phương trình là m > 1/2

    Với điều kiện đó vế trái dương, nên vế phải cũng dương nên m > 1. Lúc đó ta có:

Giá trị  thỏa mãn điều kiện x > 1/2

    Kết luận. Với m ≤ 1 phương trình vô nghiệm.

    Với m > 1 nghiệm của phương trình là

Điều kiện của phương trình là x ≠ (-1)/3.

Để phá các dấu giá trị tuyệt đối, ta phải xét ba trường hợp x < -3, -3 ≤ x < 1/2 và x ≥ 1/2 dẫn đến giải phương trình rất tốn thời gian. Cách nhanh nhất là xét từng phương án. Phương án D bị loại di điều kiện của phương trình. Với phương án A, thay x = (-2)/3 vào phương trình ta thấy vế trái âm, còn vế phải dương, nên phương án này bị loại. Phương án C cũng bị loại do có giá trị x = (-2)/3.

Đáp án: B

Với giá trị x = 0 thì vế trái của phương trình tương đương, còn vế phải âm nên phương án A và B đều bị loại. Tương tự, với x = -2 thì vế trái dương, vế phải âm nên phương án D bị loại.

Đáp án: C

Điều kiện của phương trình:

4x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/4;

-2x + 1 ≥0 ⇒ x ≤ 1/2.

Không có giá trị nào của x thỏa mãn hai điều kiện này nên phương trình vô nghiệm.

Đáp án: D

Thay x = 0 và x = 2 vào phương trình ta thấy hai vế đều cho giá trị là 3.

Đáp án: C

Phương án A có nhiều giá trị quá, thay vào phương trình mất nhiều thời gian, nên ta xét các phương trình còn lại.

Với phương án B, khi thay x = 0 vào phương trình thì hai vế đều bằng 4 nên x = 0 là một nghiệm. Tuy nhiên khi thay giá trị x = 4 vào phương trình thì vế trái bằng 0, còn vế phải bằng 16. Vậy phương án B và phương án C đều bị loại. Với phương án D, giá trị x = 1 cũng không phải là nghiệm của phương trình, nên phương án D bị loại.

Đáp án: A

Với m = 1 phương trình đã cho có dạng

$2x^2 + 2 = 0$.

Phương trình này vô nghiệm, nên phương án A bị loại. Với m = -1 phương trình đã cho trở thành phương trình bậc nhất 6x + 2 = 0 chỉ có một nghiệm nên phương án B bị loại.

Với m = 2 phương trình đã cho trở thành phương trình

$3x^2 – 3x + 2 = 0.$

Phương trình này vô nghiệm, nên phương án D bị loại.

Đáp án: C

Phương trình bậc hai $a{x}^2 + bx + c$= 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi Δ > 0, (-b)/a < 0, c/a > 0. Ta có

Đáp án: B

Phương trình bậc hai $a{x}^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ mà $x_1 + x_2 = 4$ khi

Δ ≥ 0 và (-b)/a = 4.

Với m = 1 thì (-b)/a = -2(m + 1) = -4 không đúng.

Với m = -3 thì (-b)/a = 4 đúng, nhưng

Δ’ = ${(m + 1)}^2 – 2(m + 6) = m^2 – 11$ < 0, sai

Với m = -2 thì (-b)/a = 2, sai.

Vậy cả 3 phương án A, B, C đều sai và đáp án là D.

Đáp án: D