Câu hỏi:
12/07/2024 910Cho tam giác ABC vuông tại A có . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
a) Tính góc .NMC.
b) Gọi E là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình thoi.
c) Lấy D là điểm đối xứng với E qua BC. Tứ giác ACDB là hình gì? Tại sao?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông?
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Xét DABC vuông tại A có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của DABC.
Suy ra MN // AB nên \(\widehat {NMC} = \widehat B = 60^\circ \).
b) Ta có: E là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của ME.
Lại có N là trung điểm của AC
Do đó tứ giác AECM có hai đường chéo AC, ME cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mặt khác MN // AB và AB ⊥ AC nên MN ⊥ AC tại N.
Khi đó hình bình hành AECM có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra hình bình hành AECM là hình thoi.
c) • Ta có E, D đối xứng qua BC
Suy ra CE = CD nên DECD cân tại C
Khi đó đường cao CM đồng thời là đường phân giác của DECD
Suy ra \[\widehat {BCD} = \widehat {BCE}\]
Vì AECM là hình thoi nên CA là tia phân giác của góc ECM
Do đó \[\widehat {BCE} = 2.\widehat {ACB} = 60^\circ \].
Khi đó \[\widehat {BCD} = 60^\circ \].
Ta có \[\widehat {ACD} = \widehat {ACB} + \widehat {BCD} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \].
Hay CD ⊥ AC.
Mà AB ⊥ AC nên AB // DC.
• Mặt khác, DABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM nên \(AM = \frac{1}{2}BC\).
DABC vuông tại A, có \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\).
Do đó AM = AB.
Lại có AECM là hình thoi nên AM = CE.
Khi đó: AB = AM = CE = CD.
• Xét tứ giác ABDC có AB // CD và AB = CD nên là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) nên ABDC là hình chữ nhật.
d) Do ABDC là hình chữ nhật nên hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà M là trung điểm của BC
Do đó M là trung điểm của AD hay A, M, D thẳng hàng.
Để tứ giác AECM là hình vuông thì AD ⊥ BC tại M
Điều này xảy ra khi và chỉ khi DABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, tức là ΔABC vuông cân tại A.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 3:
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
về câu hỏi!