Câu hỏi:
12/07/2024 916Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.
a) Chứng minh rằng DE //AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.
b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm G sao cho DG = DE. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.
c) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Chứng minh rằng ba điểm B, O, G thẳng hàng.
d) Vẽ EH vuông góc với AG tại H. Chứng minh rằng tam giác DHF vuông.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Xét DABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC và BC nên DE là đường trung bình của tam giác
Do đó DE // AB hay DE // AF.
Ta có AB ⊥ AC và DE // AB nên DE ⊥ AC hay \(\widehat {ADE} = 90^\circ \).
Xét tứ giác ADEF có: \(\widehat {FAD} = \widehat {ADE} = \widehat {AFE} = 90^\circ \)
Do đó ADEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
b) Tứ giác AECG có hai đường chéo AC và GE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo EG ⊥ AC (do DE ⊥ AC)
Do đó AECG là hình thoi.
c) Do ADEF là hình chữ nhật nên hai đường chéo AE và DF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay O là trung điểm của AE.
Do AECG là hình thoi nên EC // AG và EC = AG
Lại có BE = EC (do E là trung điểm của BC) nên BE = AG.
Xét tứ giác ABEG có BE // AG (do EC // AG) và BE = AG
Do đó ABEG là hình bình hành
Suy ra hai đường chéo AE và BG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà O là trung điểm của AE nên O là trung điểm của BG
Do đó ba điểm B, O, G thẳng hàng.
d) Do ADEF là hình chữ nhật nên AF = DE.
Mà DE = DG nên DG = AF.
Xét tứ giác AFDG có: DG = AF và DG // AF (do DE // AB)
Do đó AFDG là hình bình hành.
Suy ra AG // DF
Lại có EH ⊥ AG nên EH ⊥ DF
Xét DEHG vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
Nên HD = ED = \(\frac{1}{2}EG\).
Khi đó DEDH là tam giác cân tại D
Suy ra đường cao DF của tam giác đồng thời là đường phân giác.
Hay \(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\).
Xét DEDF và DHDF có:
DF là cạnh chung;
\(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\) (chứng minh trên);
ED = HD (chứng minh trên)
Do đó DEDF = DHDF (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {FED} = \widehat {FHD}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {FED} = 90^\circ \) (do ADEF là hình chữ nhật)
Do đó \(\widehat {FHD} = 90^\circ \), nên tam giác DHF vuông tại H.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 3:
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
về câu hỏi!