Câu hỏi:
25/03/2023 305Cho đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.
a) Chứng minh: AMON là hình thoi.
b) Chứng minh: MN là tiếp tuyến của đường tròn.
c) Tính diện tích AMON.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) ) Xét (O; R) có AB là 2 tiếp tuyến tại điểm B
Suy ra AB ⊥ OB
Mà ON ⊥ OB
Nên AB // ON
Xét (O;R) có AB , AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A
Suy ra AB = AC và AO là tia phân giác của góc BAC
Xét (O; R) có AC là 2 tiếp tuyến tại điểm C
Suy ra AC ⊥ OC
Mà OM ⊥ OC
Nên AC // OM
Xét tứ giác AMON có AM // ON và AN // OM (chứng minh trên)
Suy ra AMON là hình bình hành
Mà AO là tia phân giác của góc MAN
Suy ra AMON là hình thoi
b) Gọi I là trung điểm của OA
Suy ra \[IA = IO = \frac{1}{2}OA = \frac{{2R}}{2} = R\].
Do đó OI là bán kính của (O)
Mà AMON là hình thoi
Nên OA vuông góc MN tại điểm I
Hay OI vuông góc MN tại điểm I
Xét (O; R) có OI là bán kính của (O), OI vuông góc MN tại điểm I
Suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Vì AMON là hình thoi, AO cắt MN tại I
Nên I là trung điểm của MN
suy ra MN = 2 IN
Xét tam giác OAB vuông ở B có sin\(\widehat {OAB} = \frac{{OB}}{{AO}} = \frac{R}{{2{\rm{R}}}} = \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\widehat {OAB}\) = 30°
Vì AB // ON nên \(\widehat {OAB} = \widehat {ION}\) (hai góc so le trong)
Mà \(\widehat {OAB}\) = 30°
Suy ra \(\widehat {ION} = 30^\circ \)
Xét tam giác OIN vuông ở I có \(\tan \widehat {ION} = \frac{{IN}}{{OI}}\)
Hay \(\tan 30^\circ = \frac{{IN}}{R}\)
Suy ra \(IN = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\)
Mà MN = 2IN (chứng minh trên)
Do đó \(MN = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình thoi AMON bằng: \(\frac{1}{2}OA.MN = \frac{1}{2}.2R.\frac{{2R}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy diện tích hình thôi AMON là \(\frac{{2{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\).
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC;
b) AH2 = BH . HC;
c) AB . AC = AH . BC;
d) AC2 = CH . BC.
Câu 2:
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy được:
a) Ít nhất 2 bóng tốt.
b) Ít nhất 1 bóng tốt.
Câu 3:
Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.
Câu 4:
Câu 5:
Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.
Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).
Câu 7:
về câu hỏi!