Câu hỏi:
12/07/2024 2,268Cho đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thảng vuông góc với B tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.
a) Chứng minh: AMON là hình thoi.
b) Chứng minh: MN là tiếp tuyến của đường tròn.
c) Tính diện tích AMON.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Do AB là tiếp tuyến của (O) Þ OB ^ AB
Mà OB ^ ON (gt) Þ AB // ON hay AM // ON (1)
Do AC là tiếp tuyến của (O) Þ OC ^ AC
Mà OC ^ OM (gt) Þ AC // OM hay AN // OM (2)
Từ (1) và (2) nên suy ra AMON là hình thoi
b) Đặt I là trung điểm của OA \( \Rightarrow OI = \frac{{OA}}{2} = \frac{{2R}}{2} = R\)
Hay OI là bán kính của (O).
Do AMON là hình thoi nên suy ra OA ^ MN tại I.
Hay OI ^ MN tại I.
Mà OI là bán kính của (O) Þ MN là tiếp tuyến của (O).
c) Xét tam giác OAB có OA ^ AB.
\( \Rightarrow \sin \widehat {OAB} = \frac{{OB}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {OAB} = 30^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {ION} = 30^\circ \) (Hai góc ở vị trí so le trong).
Xét hình thoi AMON có OA cắt MN tại I Þ I là trung điểm MN.
Hay IN = IM = \(\frac{{MN}}{2}\).
Xét tam giác ION có \(\widehat {OIN} = 90^\circ ;\;\widehat {ION} = 30^\circ \)
\( \Rightarrow OI = IN.\cos \widehat {ION} = \frac{{MN}}{2}.\cos 30^\circ \)
\( \Rightarrow MN = \frac{{4.OI}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4R}}{{\sqrt 3 }}\).
\({S_{AMON}} = \frac{1}{2}OA.MN = \frac{1}{2}.2R.\frac{{4R}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\).
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: DC // OA.
c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.
Câu 3:
Câu 4:
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Câu 5:
Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d) (m là tham số và m ≠ 1).
a) Vẽ đồ thị khi m = 2.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = −3x + 2 (d1).
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.
Câu 6:
Câu 7:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE . AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.
về câu hỏi!