Câu hỏi:
16/05/2023 4,897Cho tam giác abc vuông tại A, M là trung điểm của BC, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh \(DE = \frac{1}{2}BC\)
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.
Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC
Nên DM ⊥ AB và ME ⊥ AC, hay \(\widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)
Xét tứ giác ADME có \(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{D}}M} = \widehat {A{\rm{E}}M} = 90^\circ \)
Suy ra ADME là hình chữ nhật.
b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC
Suy ra \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE
Mà \(AM = \frac{1}{2}BC\)
Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\).
c) Ta có AD ⊥ AC và ME ⊥ AC, suy ra AD // ME
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra E là trung điểm của AC
Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC
Suy ra QE là đường trung bình
Do đó QE // AM, \(QE = \frac{1}{2}AM\) (1)
Ta có DM ⊥ AB và AB ⊥ AC
Suy ra DM // AC
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra D là trung điểm của AB
Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM
Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM
Do đó DP // AM và \(DP = \frac{1}{2}AM\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ
Do đó DPQE là hình bình hành.
Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)
Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC
Suy ra M là trung điểm PQ
Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ
Suy ra AM là đường trung bình của DPQE
Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F
Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O
Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì \(\widehat {APQ} = \widehat {PQE} = \widehat {QE{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{D}}P} = 90^\circ \)
Ta xét ΔBAM nếu DP ⊥ BM thì AM ⊥ BM
Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Suy ra ΔABC vuông cân tại A
Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho tam giác ABC đều cạnh a, tâm O. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).
c) \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\).
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.
b) Chứng minh rằng AB. cos B + AC . cosC = BC.
c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\).
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
về câu hỏi!