Câu hỏi:
13/07/2024 128Cho x, y, z > 0 và 13x + 5y + 12z = 9.
Tìm max của \(M = \frac{{xy}}{{2x + y}} + \frac{{3yz}}{{2y + z}} + \frac{{6zx}}{{2z + x}}\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{{b + c + d}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{a}{d}} \right)\) ta có:
\(\frac{{xy}}{{2x + y}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{{xy}}{x} + \frac{{xy}}{x} + \frac{{xy}}{y}} \right) = \frac{1}{9}\left( {y + y + x} \right) = \frac{1}{9}(2y + x)\)
\(\frac{{3yz}}{{2y + z}} \le 3.\frac{1}{9}\left( {\frac{{yz}}{y} + \frac{{yz}}{y} + \frac{{yz}}{z}} \right) = \frac{1}{3}\left( {z + z + y} \right) = \frac{1}{3}(2z + y)\)
\(\frac{{6xz}}{{2z + x}} \le 6.\frac{1}{9}\left( {\frac{{xz}}{z} + \frac{{xz}}{z} + \frac{{xz}}{x}} \right) = \frac{2}{3}\left( {x + x + z} \right) = \frac{1}{9}(2x + z)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = \frac{{xy}}{{2x + y}} + \frac{{3yz}}{{2y + z}} + \frac{{6zx}}{{2z + x}} \le \frac{1}{9}\left( {2y + z} \right) + \frac{1}{3}\left( {2z + y} \right) + \frac{2}{3}\left( {2x + z} \right)\\ \Rightarrow M = \frac{{xy}}{{2x + y}} + \frac{{3yz}}{{2y + z}} + \frac{{6zx}}{{2z + x}} \le \frac{{13}}{9}x + \frac{5}{9}y + \frac{{12}}{9}z = \frac{1}{9}\left( {13x + 5y + 12z} \right) = \frac{1}{9}.9 = 1\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = \(\frac{3}{{10}}\).
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 4x}} + \frac{6}{{6 - 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\).
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi \(\left| x \right| = \frac{3}{4}\).
c) Với giá trị nào của x thì P = 7.
d) Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Câu 3:
8 người sơn được 3 cái nhà trong 6 giờ. Hỏi với 12 người sẽ sơn được bao nhiêu cái nhà trong 12 giờ ?
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và CD.
a) CMR: \(\widehat {AMN} = 90^\circ \). Từ đó suy ra bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh AN và MD.
Câu 6:
Lãi suất tiết kiệm có kì hạn của một ngân hàng là 0,6%. Bác Minh gửi 60000000 đồng tiền tiết kiệm, hỏi sau một tháng bác Minh có bao nhiêu tiền cả tiền vốn và lãi ?
Câu 7:
Tổng của hai số lẻ bằng 64. Tìm 2 số đó,biết rằng giữa chúng có 5 số chẵn liên tiếp.
về câu hỏi!