Câu hỏi:
03/07/2023 5,297Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho AM < MB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia OM tại S. Đường cao AH của tam giác SAO (H thuộc SO) cắt đường tròn (O) tại D.
1) Chứng minh: SD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2) Kẻ đường kính DE của đường tròn (O). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAD. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD và tính độ dài đoạn thẳng AE theo R và r.
3) Cho AM = r. Gọi K là giao điểm của BM và AD. Chứng minh: \(\frac{{M{D^2}}}{6} = KH\,.\,KD\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
1) Xét ∆OAB có \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OD = R\\OH \bot AD\end{array} \right.\)
Þ ∆OAD cân tại O có OH là đường cao
Þ OH là đường phân giác của \(\widehat {AOD}\)
\[ \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {DOH}\]hay\[\widehat {AOS} = \widehat {DOS}\]
Xét ∆SAO và ∆SDO có:
KO chung
\[\widehat {AOS} = \widehat {DOS}\]
OA = OD = R
Do đó ∆SAO = ∆SDO (c.g.c)
Mà \(\widehat {SAO} = 90^\circ \) (SA ^ OA do SA là tiếp tuyến của (O) tại A)
\( \Rightarrow \widehat {SDO} = 90^\circ \)hay SD ^ OD
Suy ra SD là tiếp tuyến của (O) tại D.
2) ∆OAM có OA = OM = R
Þ ∆OAM cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {OMA}\)
Mà \[\widehat {OAM} + \widehat {SAM} = \widehat {SAO} = 90^\circ \] và \[\widehat {AMH} + \widehat {HAM} = 90^\circ \] (∆HAM vuông tại H)
\( \Rightarrow \widehat {SAM} = \widehat {HAM}\)
Þ AM là đường phân giác của ∆SAD (1)
Mặt khác SA, SD là các tiếp tuyến của đường tròn (O)
Þ SO là tia phân giác của \[\widehat {ASD}\]
Þ SO là đường phân giác của ∆SAD (2)
Từ (1) và (2) Þ M là tâm đường tròn nội tiếp ∆SAD
Mà MH ^ AD tại H Þ MH là bán kính đường tròn nội tiếp ∆SAD
Þ MH = r Þ OH = R − r
Áp dụng định lí Py-ta-go vào ∆AOH vuông tại H, ta có:
\(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {R - r} \right)}^2}} \)
\[ \Rightarrow AD = 2\sqrt {{R^2} - {{\left( {R - r} \right)}^2}} \]
Ta có \(\widehat {EAD}\) chắn đường kính DE suy ra \[\widehat {EAD} = 90^\circ \].
Áp dụng định lí Py-ta-go vào ∆EAD vuông tại A, ta có:
\(AE = \sqrt {D{E^2} - A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt {{R^2} - {{\left( {R - r} \right)}^2}} } \right)}^2}} = 2\left( {R - r} \right)\)
3) OH là đường trung trực của AD, M Î OH Þ DM = AM = R
Tứ giác AMDO có AM = MD = OA = OD (=R)
ÞTứ giác AMDO là hình thoi
ÞAM // OD. Mà AM ^ BMÞ BM ^ OD
∆OMD có OM = OD = CD (=R) Þ ∆OMD đều
Mà MB, DM là hai đường cao cắt nhau tại K của ∆OMD
Do đó K là trực tâm của tam giác đều OMD
Þ K là trọng tâm của tam giác đều OMD
\[ \Rightarrow KH = \frac{1}{3}DH,\;KD = \frac{2}{3}DH \Rightarrow KH\,.\,KD = \frac{2}{9}D{H^2}\]
Mà ∆HMD vuông tại H
\[ \Rightarrow DH = MD\,.\,\sin \widehat {HMD} = MD\,.\,\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}MD\]
\( \Rightarrow MD = \frac{2}{{\sqrt 3 }}DH\)
\( \Rightarrow M{D^2} = \frac{4}{3}D{H^2} = 6\,.\,\frac{2}{9}D{H^2} = 6KH\,.\,KD\)
\( \Rightarrow \frac{{M{D^2}}}{6} = KH\,.\,KD\).
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.
Câu 2:
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a.Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.
a) Chứng minh \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).
b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.
c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách.
Câu 3:
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.
Câu 4:
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần?
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).
b) Chứng minh MN // (ABCD).
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với (AMN).
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.
về câu hỏi!