Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 76)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh CD = AC + BD.

b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.

c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.

d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.

Biết đồ thị hàm số y = (k − 3)x − 4 cắt đường thẳng y = −3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5. Tìm tham số k

Tìm m để đồ thị hàm số bậc nhất y = mx − 4 cắt đường thẳng y = −3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5.

Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB).Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.

a) Chứng minh K là trung điểm của AB.

b) Vẽ MH ^ OI tại H. Chứng minh OB² = OH.OI.

c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.

Tìm m để bất phương trình 2x² − (2m + 1)x + m² − 2m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {\frac{1}{2};\;2} \right]\]

Cho phương trình: x² − (m − 2)x− m − 1 = 0 (với m là tham số)

a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

b) Tìm m thỏa mãn hệ thức: (x₁ − x₂)² − 3x₁x₂ = 21

Cho hai hàm số y=x² và y=2x − m+2.Tìm m để đồ thị hai hàm số trên chỉ có một điểm chung? Tìm tọa độ điểm chung đó?

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Cho hàm số y = −x³ + (2m + 1)x² − (m² − 3m + 2)x − 4 (Cm). (Với m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - \left( {6m + 9} \right)x - 12\) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung.

Một cửa hàng bán vải được 2 160 000 đồng. Tính gia cửa hàng lãi 8% so với tiền vốn. Hỏi số tiền lãi là bao nhiêu tiền?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SAC) và (SBD);

b) (SAB) và (SCD);

c) (SAD) và (SBC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD). 

b) Tìm giao điểm DN với (SAC).

c) Chứng minh: MN // (SCD). 

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho AM < MB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia OM tại S. Đường cao AH của tam giác SAO (H thuộc SO) cắt đường tròn (O) tại D.

1) Chứng minh: SD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

2) Kẻ đường kính DE của đường tròn (O). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAD. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD và tính độ dài đoạn thẳng AE theo R và r.

3) Cho AM = r. Gọi K là giao điểm của BM và AD. Chứng minh: \(\frac{{M{D^2}}}{6} = KH\,.\,KD\).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD.Mặt bên (SAB) tạo với đáy một góc bằng 60°.Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H trùng với trung điểm của AB, biết\(SH = a\sqrt 3 \). Gọi M là giao điểm của HD và AC. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2, diện tích tam giác A’BC bằng 3. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, diện tích mặt bên ABB’A’ bằng 2a². Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền bằng \[a\sqrt 2 \]. Diện tích toàn phần S_tp của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho là bao nhiêu?

Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO = a. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. Tìm GTLN của 

\(B = \sqrt {\frac{{xy}}{{xy + 3z}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + 3x}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{zx + 3y}}} \).

Cho x, y,z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh: 

\(\frac{x}{{x + \sqrt {3x + yz} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {3y + zx} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {3z + xy} }} \le 1\).

Tìm x biết |x − 1| = 3x + 2.

Giải phương trình: |x − 1| − 3x = 2.

Thực hiện phép tính:

a) 483 + (−56) + 263 + (−64)

b) 371 + (−531) + (−271) + 731

c) 3251 − 243 − 3250

d) 279 − (145 + 279)

Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z  − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất |z|.

Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z  − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất |z|.

Cho số phức z thỏa mãn\(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i\). Tìm giá trị |z|.

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C₁, A₁, B₁ sao cho các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁, đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A₁B₁, B₁C₁, tại K và M tương ứng. CMR: OK = OM 

Cho tập hợp A = {−3;−2; 0; 6; 9}.Trong các 1 tập hợp sau tập hợp nào không phải là tập hợp con của A?

Tìm ước chung của 9 và 15.

Hàm số y = cos 2x đồng biến trên khoảng nào?

Hàm số y = cos 2x nghịch biến trên khoảng nào?

Trong tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 3a;\;AB = 3\sqrt 3 a,\;\cot B\) bằng?

Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a.Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.

a) Chứng minh \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).

b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.

c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách.

Trên một bản đồ tỉ lệ 1 : 1 000 có hình vẽ một khu đất hình chữ nhật với chiều dài 6 cm và chiều rộng 4 cm. Tính diện tích khu đất đó bằng đơn vị ha.

Hình vẽ một mảnh đất hình chữ nhật trên bản đồ tỉ lệ 1 : 1000 có chiều dài 8 cm, chiều rộng 6 cm. Vậy diện tích thực tế của mảnh đất đó là bao nhiêu?

Cho f(x) = −x² − 2(m − 1)x + 2m − 1.

Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1)

Tìm m để mọi x Î [0; +∞) đều là nghiệm của bất phương trình:

(m² − 1)x² − 8mx + 9 − m² ≥ 0

Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1)

Tìm ba số, biết tổng thứ nhất và thứ hai bằng 182. Tổng của số thứ hai và thứ ba bằng 176, tổng của số thứ ba và số thứ nhất bằng 188.

Tổng của số thứ nhất và số thứ hai là 18,36;tổng của số thứ hai và số thứ ba là 21,64; tổng của số thứ ba và số thứ nhất là 20. Tính tổng của ba số đó?

Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và \(\widehat A = 60^\circ .\) Tính độ dài cạnh BC.

Cho tam giác ABC, \(AB = a,\;AC = a\sqrt 3 ,\;\widehat {BAC} = 60^\circ \) và \(\widehat A = 60^\circ .\) Tính diện tích tam giác ABC theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SC.Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).

b) Chứng minh MN // (ABCD).

c) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với (AMN).

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tamgiác đều cạnh a; SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của Alên SB; SC. Tính diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, K, H.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy.

Cho a ≥ 1; b ≥ 9; c ≥ 16 thỏa mãn a.b.c = 1 152. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \).

Cho B=3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰. Chứng minh:

a) B chia hết cho 3;

b) B chia hết cho 4;

c) B chia hết cho 13.

Cho B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰. Chứng minh B chia hết cho 13.

Chứng minh rằng biểu thức:

a) x² + 2x + 3 luôn dương với mọi x;

b) −x² + 4x − 5 luôn âm với mọi x.

Chứng minh 4x − 10 − x² luôn luôn âm với mọi x.

Giải phương trình: \(\frac{{{{\cot }^2}x - {{\tan }^2}x}}{{\cos 2x}} = 16\left( {1 + \cos 4x} \right)\).

Giải phương trình: cot² x – tan² x = 16cos 2x.

Cho 2 số x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1.

Tìm GTNN của: \(P = {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {2y + \frac{1}{y}} \right)^2}\).

Cho 2 số dương x, y thay đổi thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của biểu thức:\(M = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{{2x + y}}\).

Tìm GTNN của B = 2x²+3y²+4xy − 8x − 2y + 18

Cho tam giác ABC có M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho CN = 2AN.Đoạn thẳng BN cắt CM ở O.Biết diện tích tam giác OBC bằng 20cm². Tính diện tích tam giác ABC.

Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy AN bằng \(\frac{1}{2}\) NC. Hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại K. Hãy tính diện tích tam giác AKC? Biết diện tích tam giác KAB bằng 42 dm².

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2). Chứng minh rằng 3 điểm A B, C tạo thành tam giác.

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+ z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:\(P = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \).

Cho x² + y² + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của: A = x² − xy + 2y²

Cho (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ hình bình hành OBO'C.

Chứngminh: AC//OO'

Cho hai đường tròn (O) và (O¢) cắt nhau tại A và B như hình bên. Biết OA =15cm, O¢A = 13cm, AB = 24cm. Tính độ dài OO¢.

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.

a) Biểu diễn \[\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \]theo hai vectơ \[\overrightarrow {AI} ,\;\overrightarrow {AJ} \]và biểu diễn \[\overrightarrow {AJ} \]qua \[\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \].

b) Biểu diễn \[\overrightarrow {AG} \]theo hai vectơ\[\overrightarrow {AI} ,\;\overrightarrow {AJ} \].

Cho tam giác ABC.Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Hãy phân tích \[\overrightarrow {AI} \]qua hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \]

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt sao cho 1,2,3 luôn đứng cạnh nhau.

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

Tìm giá trị thực của tham số m khác 0 để y = mx²− 2mx − 3m − 2 có giá trị nhỏ nhất bằng −10 trên ℝ.

Không thực hiện phép tính,so sánh các tính sau rồi điền dấu >, < hoặc = và viết vào chỗ chấm cho thích hợp:

a) 357,32× 0,34 ....... 35,732 × 3,4; vì ............

b) 491,5× 0,05 ....... 4,915 × 5; vì...............

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁: x − 2y + 1 = 0 và d₂: −3x + 6y – 10 = 0.

Cho đoạn thẳng AB. Xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho CA ≤ CB.

Giải phương trình: \[\sqrt {x + 1} + 1 = 4{x^2} + \sqrt {3x} \].

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

\(\frac{{ab}}{{a + b - c}} + \frac{{bc}}{{b + c - a}} + \frac{{ca}}{{c + a - b}} \ge a + b + c\)

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

\(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều dài bằng \(\frac{3}{2}\) chiều rộng, trên thửa ruộng đó người ta trồng lúa cứ 100m² thu hoạch được 50 kg. Hỏi trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60 m, chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài. Trung bình cứ 100 mét vuông thì thu hoạch được 50 kg thóc. Hỏi trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần?

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số: Có 8 chữ số trong đó chữ số 1có mặt 3 lần, chữ số 4 xuất hiện 2 lần; các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.

Giải phương trình: 2^{x + 1} − 2^x = 32.

Giải phương trình: 2^{2x + 1} = 32.