Câu hỏi:
04/07/2023 405Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.
Khi đó IM = IN = IP.
+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
Xét ∆AIP và ∆AIN có:
\(\widehat {API} = \widehat {AQI} = 90^\circ \)
AI là cạnh chung,
IP = IN (cmt)
Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {PAI} = \widehat {NAI}\) (hai góc tương ứng)
Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.
Mà \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) (do tam giác ABC đều).
Nên \(\widehat {PAI} = \widehat {NAI} = 30^\circ \)
Xét ∆API vuông tại P có:
\(\widehat {PAI} + \widehat {PIA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Suy ra \(\widehat {PIA} = 90^\circ - \widehat {PAI} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {PIB} = 60^\circ \)
Xét ∆PIA và ∆PIB có:
\(\widehat {API} = \widehat {BPI} = 90^\circ \)
PI là cạnh chung
\(\widehat {PIA} = \widehat {PIB}\) (cùng bằng 60°)
Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.
Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ?
Câu 2:
Cho tam giác ABC có AB = 2; AC = 3; \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh BC.
Câu 3:
Chứng minh rằng n4 + 2n3 – n2 – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
Câu 4:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{6xy}} = \frac{1}{6}\).
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng (SAD);
B. Mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác;
C. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng (SAB);
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (IBD) và (SAC) là IO.
Câu 6:
Cho hình bình hành ABCD, có AC là đường chéo lớn. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, BI vuông góc với AC tại I.
Chứng minh rằng:
Câu 7:
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, AH là đường cao. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc AC tại F .
a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC.
b) Cho BH = 3cm, AH = 4cm. Tính AE, BE.
về câu hỏi!