Câu hỏi:
20/06/2024 41Cho hai số thực dương \[x,\,\,y\] thỏa mãn \(4 + {3^{2{x^2} - y + 2}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} - y}}} \right) \cdot {7^{y - 2{x^2} + 2}}.\) Khi biểu thức \(P = \frac{{x + y + 10}}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(x + y\) bằng
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đặt \(t = 2{x^2} - y\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\), ta có \(4 + {3^{2{x^2} - y + 2}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} - y}}} \right) \cdot {7^{y - 2{x^2} + 2}}\)
\( \Leftrightarrow 4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right) \cdot \frac{{49}}{{{7^t}}} \Leftrightarrow 4\left( {{7^t} - 49} \right) + {9^t}\left[ {9 \cdot {{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^t} - 49} \right] = 0.\)
Nhận thấy \(t = 2\) là nghiệm của phương trình.
• Xét \(t > 2\) thì \({7^t} > 49\) và \(9 \cdot {\left( {\frac{7}{3}} \right)^t} > 49\) nên \({\rm{VT}} > 0\) mà \({\rm{VT}} = 0\) nên phương trình vô nghiệm.
• Xét \(t < 2\) tương tự suy ra \({\rm{VT}} < 0\) mà \({\rm{VT}} = 0\) nên phương trình vô nghiệm.
Như vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(t = 2.\)
Suy ra \(2{x^2} - y = 2 \Leftrightarrow y = 2{x^2} - 2.\)
Thay vào \(P = \frac{{x + y + 10}}{x} = \frac{{x + 2{x^2} - 2 + 10}}{x} = 1 + 2x + \frac{8}{x} \ge 1 + 2\sqrt {2x \cdot \frac{8}{x}} = 1 + 2 \cdot 4 = 9.\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2x = \frac{8}{x} \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow x + y = 8.\)
Đáp án: 8.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc với nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích \[S\] phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch tô màu trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?
Câu 2:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 4x - 2.\) Gọi \(S\) là tống tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + m} \right|\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]\) bằng 15. Tổng \(S\) thuộc khoảng nào sau đây?
Câu 4:
Câu 5:
Các hình dưới đây biểu diễn dung dịch nước của ba acid \({\rm{HA}}\,({\rm{A}} = {\rm{X}},{\rm{Y}},{\rm{Z}})\); bỏ qua sự phân li của nước.
Các dung dịch đều có cùng nồng độ, dung dịch nào dẫn điện tốt nhất?
Câu 6:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\) có đồ thị \((C)\) và các đường thẳng \({d_1}:y = 2x,\,\,{d_2}:y = 2x - 2,\)\({d_3}:y = 3x + 3,\) \({d_4}:y = - x + 3.\) Hỏi có bao nhiêu đường thẳng trong bốn đường thẳng \[{d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3},\,\,{d_4}\] đi qua giao điểm của \((C)\) và trục hoành?
Câu 7:
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \({\log _5}\frac{{{x^2} - 4}}{{49}} < {\log _7}\frac{{{x^2} - 4}}{{25}}\)?
về câu hỏi!