Giải SBT Toán 7 CD Bài 5. Phép chia đa thức một biến có đáp án

a) $\left(\frac{3}{4}{x}^3\right):\left(-\frac{1}{2}{x}^2\right)$$=\left[\frac{3}{4}:\left(-\frac{1}{2}\right)\right].\left(x^3:x^2\right)$ 

$=\frac{3}{4}.\frac{-2}{1}.x^{3-2}=-\frac{3}{2}x$;

b) (5xⁿ) : (4x²) = (5 : 4) . (xⁿ – x²) = $\frac{5}{4}$x^{n – 2} (n ∈ ℕ, n ≥ 2);

c) $\left(x^3-3x^2+6x\right):\left(-\frac{1}{3}x\right)$ 

$=\left[x^3:\left(-\frac{1}{3}x\right)\right]-\left[3x^2:\left(-\frac{1}{3}x\right)\right]+\left[6x:\left(-\frac{1}{3}x\right)\right]$

$=\left[1:\left(-\frac{1}{3}\right)\right].\left(x^3:x\right)-\left[3:\left(-\frac{1}{3}\right)\right].\left(x^2:x\right)+\left[6:\left(-\frac{1}{3}\right)\right].\left(x:x\right)$

= 1 . (–3) . x^{3 – 1}  – 3 . (–3) . x^{2 – 1} + 6 . (–3) . x^{1 – 1}

= –3x² + 9x – 18;

d) $\left(x+\frac{1}{3}{x}^2+\frac{7}{2}{x}^3\right):\left(5x\right)$ 

$=\left(x:5x\right)+\left(\frac{1}{3}{x}^2:5x\right)+\left(\frac{7}{2}{x}^3:5x\right)$

$=\left(1:5\right).\left(x:x\right)+\left(\frac{1}{3}:5\right).\left(x^2:x\right)+\left(\frac{7}{2}:5\right).\left(x^3:x\right)$

$=\frac{1}{5}.x^{1-1}+\frac{1}{3}.\frac{1}{5}.x^{2-1}+\frac{7}{2}.\frac{1}{5}.x^{3-1}$

$=\frac{1}{5}{x}^0+\frac{1}{15}{x}^1+\frac{7}{10}{x}^2$

$=\frac{1}{5}+\frac{1}{15}x+\frac{7}{10}{x}^2.$

a) $P\left(x\right)=\left(6x^5-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3\right):\left(2x^3\right)$

$=\left(6x^5:2x^3\right)-\left(\frac{1}{2}{x}^4:2x^3\right)+\left(\frac{1}{3}{x}^3:2x^3\right)$

$=\left(6:2\right).\left(x^5:x^3\right)-\left(\frac{1}{2}:2\right).\left(x^4:x^3\right)+\left(\frac{1}{3}:2\right).\left(x^3:x^3\right)$

$=3.x^{5-3}-\frac{1}{4}.x^{4-3}+\frac{1}{6}.x^{3-3}$

$=3.x^2-\frac{1}{4}.x^1+\frac{1}{6}.x^0$

$=3x^2-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}.$

Thay x = –2 vào $P\left(x\right)=3x^2-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}$ ta được:

$P\left(-2\right)=3.{\left(-2\right)}^2-\frac{1}{4}.\left(-2\right)+\frac{1}{6}=3.4+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$

           $=\frac{72+3+1}{6}=\frac{76}{6}=\frac{38}{3}.$

Vậy tại x =  –2 thì P(x) có giá trị bằng $\frac{38}{3}$ 

b) $Q\left(x\right)=3\left(\frac{2x}{3}-1\right)+\left(15x^2-10x\right):\left(-5x\right)-\left(3x-1\right)$

$=3.\frac{2x}{3}-3.1+\left[15x^2:\left(-5x\right)\right]-\left[10x:\left(-5x\right)\right]-3x+1$

= 2x – 3 + (–3x) – (– 2) – 3x + 1

= [2x + (– 3x) – 3x] + [– 3 – (–2) + 1]

= – 4x.

Thay $x=\frac{1}{3}$ vào Q(x) = – 4x ta được:

$Q\left(\frac{1}{3}\right)=-4.\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}.$

Vậy tại $x=\frac{1}{3}$ thì Q(x) có giá trị bằng $\frac{-4}{3}$ 

Theo em, bạn Hà nói đúng. Vì:

A(x) : B(x) = (– 12x⁴ + 5x³ + 15x²) : (3x²)

= (– 12x⁴ : 3x²) + (5x³ : 3x²) + (15x² : 3x²)

= –4x² + $\frac{5}{3}$x + 5.

Do đó A(x) ⋮ B(x).

Vậy bạn Hà nói đúng.

a) (3x³ – 7x² + 4x – 4) : (x – 2)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{c}{}^{}3x^3-7x^2+4x-4\\ \overline{}3x^3-6x^2{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}\\ {}^{}{}^{}{}^{}{}^{}-{}^{}{x}^2+4x-4\\ {}^{}{}^{}{}^{}\overline{}-{}^{}{x}^2+2x^{}{}^{}\\ {{}^{}}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}2x-4\\ {{}^{}}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}\overline{}2x-4\\ {{}^{}}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{{}^{}}^{}{}^{}{}^{}{{}^{}}^{}0\end{array}\begin{array}{c}x-2\\ 3x^2-x+2\\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$

Vậy (3x³ – 7x² + 4x – 4) : (x – 2) = 3x² – x + 2.

b) (x⁵ + x + 1) : (x³ – x).

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{cccccccc}& x^5& & & +& x& +& 1\\ \overline{}& x^5& +& x^3& & & & \\ & & -& x^3& +& x& +& 1\\ & \overline{}& -& x^3& -& x& & \\ & & & & & 2x& +& 1\end{array}\begin{array}{c}{x}^2+1\\ x^3-x\\ \\ \\ \end{array}$

Vậy (x⁵ + x + 1) : (x³ – x) = x³ – x (dư 2x + 1).

Dựa vào quy tắc phép chia ta có:

P(x) = Q(x) . S(x) + R(x)

Hay P(x) – R(x) = Q(x) . S(x)

Suy ra Q(x) = [P(x) – R(x)] : S(x)

Do đó Q(x) = [(3x³ – 2x² + 5) – (3x + 3)] : (3x – 2)

                   = (3x³ – 2x² + 5 – 3x – 3) : (3x – 2)

                   = (3x³ – 2x² – 3x + 2) : (3x – 2)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{cccccccc}& 3x^3& -& 2x^2& -& 3x& +& 2\\ \overline{}& 3x^3& -& 2x^2& & & & \\ & & & & -& 3x& +& 2\\ & & & & -& 3x& +& 2\\ & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{c}3x-2\\ x^2-1\\ \\ \\ \end{array}$

Khi đó Q(x) = (3x³ – 2x² – 3x + 2) : (3x – 2) = x² – 1.

Vậy Q(x) = x² – 1.

a) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{cccccccccc}& 4x^4& & & -& {}^{}2x^2& & & +& {}^{}{}^{}7\\ \overline{}& 4x^4& +& 12x^3& & & & & & \\ & & -& 12x^3& -& {}^{}2x^2& & & +& {}^{}{}^{}7\\ & \overline{}& -& 12x^3& -& 36x^2& & & & \\ & & & & & 34x^2& & & +& {}^{}{}^{}7\\ & & & & \overline{}& 34x^2& +& 102x& & \\ & & & & & & -& 102x& +& {}^{}{}^{}7\\ & & & & & \overline{}& -& 102x& -& 306\\ & & & & & & & & & 313\end{array}\begin{array}{c}x+3\\ 4x^3-12x^2+34x-102\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$

Vậy thực hiện phép chia đa thức 4x⁴ – 2x² + 7 cho x + 3, ta được thương là 4x³ – 12x² + 34x – 102 và số dư là 313.

b) Dựa vào quy tắc phép chia ta có đa thức bị chia là:

(x² – 2x + 3) . (x² – 2) + (9x – 5)

= x² . (x² – 2) – 2x . (x² – 2) + 3 . (x² – 2) + 9x – 5

= x⁴ – 2x² – 2x³ + 4x + 3x² – 6 + 9x – 5

= x⁴ – 2x³ + (– 2x² + 3x²) + (4x + 9x) + (– 6 – 5)

= x⁴ – 2x³ + x² + 13x – 11

Vậy đa thức bị chia cần tìm là x⁴ – 2x³ + x² + 13x – 11.

a) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{cccccc}& 10x^2& -& {}^{}7x& +& {}^{}{}^{}{}^{}a\\ \overline{}& 10x^2& -& 15x& & \\ & & & {}^{}8x& +& {}^{}{}^{}{{}^{}}^{}a\\ & & \overline{}& {}^{}8x& -& {}^{}{}^{}{}^{}12\\ & & & & & a+12\end{array}\begin{array}{c}2x-3\\ 5x+4\\ \\ \\ \end{array}$

Do đó số dư của phép chia là a + 12.

Để 10x² – 7x + a chia hết cho 2x – 3 thì số dư bằng 0, tức là a + 12 = 0.

Suy ra a = –12.

Vậy a = –12 thì 10x² – 7x + a chia hết cho 2x – 3.

b) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{cccccccc}& x^3& & & -& 10x& +& {}^{}{}^{}a\\ \overline{}& x^3& -& 2x^2& & & & \\ & & & 2x^2& -& 10x& +& {}^{}{}^{}a\\ & & \overline{}& 2x^2& -& 4x& & \\ & & & & -& 6x& +& {}^{}{}^{}a\\ & & & \overline{}& -& 6x& +& {}^{}12\\ & & & & & & & a-12\end{array}\begin{array}{c}x-2\\ x^2+2x-6\\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$

Do đó số dư của phép chia trên là a – 12.

Để  x³ – 10x + a chia hết cho x – 2 thì số dư bằng 0, tức là a – 12 = 0.

Suy ra a = 12.

Vậy a = 12 thì x³ – 10x + a chia hết cho x – 2.

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{cccccc}& 2n^2& -& {}^{}n& & \\ \overline{}& 2n^2& +& 2n& & \\ & & -& 3n& & \\ & \overline{}& -& 3n& -& 3\\ & & & & & 3\end{array}\begin{array}{c}n+1\\ 2n-3\\ \\ \\ \end{array}$

Do đó $\frac{2n^2-n}{n+1}=2n-3+\frac{3}{n+1}$ (với n + 1 ≠ 0).

Với n ∈ ℤ để 2n2 – n chia hết cho n + 1 thì 3 ⋮ (n + 1).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi (n + 1) ∈ Ư(3) = {–1; 1; –3; 3}.

Ta có bảng sau:

$\begin{array}{ccccc}n+1& -1& 1& -3& 3\\ n& \begin{array}{l}-2\\ \left(tm\right)\end{array}& \begin{array}{l}0\\ \left(tm\right)\end{array}& \begin{array}{l}-4\\ \left(tm\right)\end{array}& \begin{array}{l}2\\ \left(tm\right)\end{array}\end{array}$

Vậy n ∈ {–4; –2; 0; 3}.

Quan sát Hình 6 ta thấy chiều cao kẻ từ C của tam giác BMC cũng là chiều cao của hình thang vuông AMCD.

Ta có diện tích của tam giác BMC được tính là:

$\frac{1}{2}$ . BM . BC = $\frac{1}{2}$ . BM . (2x + 5) (m²).

Mà theo bài diện tích phần đất dạng tam giác BMC là 6x² + 13x – 5 (m²).

Do đó $\frac{1}{2}$ . BM . (2x + 5) = 6x² + 13x – 5

Hay BM . (2x + 5) = 2 . (6x² + 13x – 5)

Suy ra BM = [2 . (6x² + 13x – 5)] : (2x + 5)

Hay BM = (12x² + 26x – 10) : (2x + 5).

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{cccccc}& 12x^2& +& 26x& -& 10\\ \overline{}& 12x^2& +& 30x& & \\ & & -& 4x& -& 10\\ & \overline{}& -& 4x& -& 10\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{c}2x+5\\ 6x-2\\ \\ \\ \end{array}$

Khi đó BM = 6x – 2 (m).

Suy ra AB = AM + MB = 10 + 6x – 2 = 6x + 8 (m).

Diện tích của mảnh đất hình thang vuông ban đầu là:

$\frac{1}{2}$ . [10 + (6x + 8)] . (2x + 5) = $\frac{1}{2}$ . (6x + 18) . (2x + 5)

= (3x + 9) . (2x + 5) = 3x . (2x + 5) + 9 . (2x + 5)

= 6x² + 15x + 18x + 45 = 6x² + 33x + 45 (m²).

Vậy diện tích của mảnh đất hình thang vuông ban đầu là 6x² + 33x + 45 (m²).