10 Bài tập Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

A = 16⁵ + 2¹⁵

= (2⁴)⁵ + 2¹⁵

= 2²⁰ + 2¹⁵

= 2¹⁵.2⁵ + 2¹⁵

= 2¹⁵. (2⁵ + 1)

= 2¹⁵. (32 + 1)

= 2¹⁵. 33

Vì 33\[ \vdots \]33 nên (2¹⁵. 33)\[ \vdots \]33

Vậy A = 16⁵ + 2¹⁵ chia hết cho 33.

Đáp án đúng là: A

B = 3 + 3² + 3³ + 3⁴

= (3 + 3²) + (3³ + 3⁴)

= 3. (1 + 3) + 3³. (1 + 3)

= 3.4 + 3³.4

= 4. (3 + 3³)

Vì 4\[ \vdots \]4 nên 4. (3 + 3³)\[ \vdots \]4

Vậy A = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ chia hết cho 4.

Đáp án đúng là: C

M = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶

= (5 + 5² + 5³) + (5⁴ + 5⁵ + 5⁶)

= 5. (1 + 5 + 5²) + 5⁴. (1 + 5 + 5²)

= 5.31 + 5⁴.31

= 31. (5 + 5⁴)

Vì 31\[ \vdots \]31 nên 31. (5 + 5⁴)\[ \vdots \]31

Vậy M = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ chia hết cho 31.

Đáp án đúng là: A

C = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁰

= (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + … + (2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

= 2. (1 + 2 + 2²) + 2⁴. (1 + 2 + 2²) + … + 2²⁰⁰⁸. (1 + 2 + 2²)

= 2.7 + 2⁴.7 + … + 2²⁰⁰⁸.7

= 7. (2 + 2⁴ + … + 2²⁰⁰⁸)

Do C tách được dưới dạng 7.k nên C chia hết cho 7.

Đáp án đúng là: D

D = 3 + 3² + 3³ + … + 3²⁰¹²

= (3 + 3² + 3³ + 3⁴) + (3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + … + (3²⁰⁰⁹ + 3²⁰¹⁰ + 3²⁰¹¹ + 3²⁰¹²)

= 3. (1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁵. (1 + 3 + 3² + 3³) + … + 3²⁰⁰⁹. (1 + 3 + 3² + 3³)

= 3.40 + 3⁵.40 + … + 3²⁰⁰⁹.40

= 40. (3 + 3⁵ + … + 3²⁰⁰⁹)

Do D tách được dưới dạng 40.k nên D chia hết cho 40.

Đáp án đúng là: B

S = 3⁰ + 3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰⁰²

= (3⁰ + 3² + 3⁴) + (3⁶ + 3⁸ + 3¹⁰) + … + (3¹⁹⁹⁸ + 3²⁰⁰⁰ + 3²⁰⁰²)

= 3⁰. (1 + 3² + 3⁴) + 3⁶. (1 + 3² + 3⁴) + … + 3¹⁹⁹⁸. (1 + 3² + 3⁴)

= 91 + 3⁶.91 + … + 3¹⁹⁹⁸.91

= 91. (1 + 3⁶ + … + 3¹⁹⁹⁸)

Vì 91\[ \vdots \]7 nên 91. (1 + 3⁶ + … + 3¹⁹⁹⁸)\[ \vdots \]7

Do đó S = 3⁰ + 3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰⁰² chia hết cho 7.

Đáp án đúng là: C

S = 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + … + 3²⁰²¹

= 3² + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + (3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + … + (3²⁰¹⁹ + 3²⁰²⁰ + 3²⁰²¹)

= 9 + 3³. (1 + 3 + 3²) + 3⁶. (1 + 3 + 3²) + … + 3²⁰¹⁹. (1 + 3 + 3²)

= 9 + 3³.13 + 3⁶.13 + … + 3²⁰¹⁹.13

= 9 + 13. (3³ + 3⁶ + … + 3²⁰¹⁹)

Vì 13\[ \vdots \]13 nên 13. (3³ + 3⁶ + … + 3²⁰¹⁹)\[ \vdots \]13

Do đó S = 9 + 13. (3³ + 3⁶ + … + 3²⁰¹⁹) chia 13 dư 9.

Đáp án đúng là: A

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵ + … + 4⁶⁰

= 1 + (4 + 4² + 4³) + (4⁴ + 4⁵ + 4⁶) + … + (4⁵⁸ + 4⁵⁹ + 4⁶⁰)

= 1 + 4. (1 + 4 + 4²) + 4⁴. (1 + 4 + 4²) + … + 4⁵⁸. (1 + 4 + 4²)

= 1 + 4.21 + 4⁴.21 + … + 4⁵⁸.21

= 1 + 21. (4 + 4⁴ + … + 4⁵⁸)

Vì 21\[ \vdots \]21 nên 21. (4 + 4⁴ + … + 4⁵⁸)\[ \vdots \]21

Do đó A = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵ + … + 4⁶⁰ chia 21 dư 1.

Đáp án đúng là: D

B = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰⁰

= 2. (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹⁹)

Vì 2. (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁹⁹) chia hết cho 2 nên B chia hết cho 2

B = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + … + (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

= 2. (1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵. (1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁹⁷. (1 + 2 + 2² + 2³)

= 2.15 + 2⁵.15 + … + 2⁹⁷.15

= 15. (2 + 2⁵ + … + 2⁹⁷)

Vì 15\[ \vdots \]5 nên 15. (2 + 2⁵ + … + 2⁹⁷)\[ \vdots \]5

Do đó B chia hết cho 5

B chia hết cho cả 2 và 5 nên B có chữ số tận cùng là 0.

Đáp án đúng là: A

C = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹¹

= (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ + 2¹¹)

= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32) + 2⁶. (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32)

= 63 + 2⁶.63

Vì 63\[ \vdots \]9 nên (63 + 2⁶.63)\[ \vdots \]9

Do đó C chia hết cho 9 nên số dư bằng 0.