Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng 60^o và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Do S.ABCD là hình chóp đều nên $SO\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp AB$.

Ta có: S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

$AB\subset \left(SAB\right); CD\subset \left(SCD\right); AB//CD$.

Suy ra hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $△$ đi qua S, song song với AB và CD.

Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AB và CD => HK đi qua O và $HK\perp AB$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}SO\perp AB\\ HK\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SHK\right)\Rightarrow \Delta \perp \left(SHK\right)$ (Do $\Delta //AB$).

$\Rightarrow \widehat{\left(\left(SAB\right);\left(SCD\right)\right)}=\widehat{\left(SH;SK\right)}=60°\Rightarrow SH\perp SK\Rightarrow$Tam giác SHK là tam giác đều.

Kẻ KP vuông góc SH tại P.

Do $CD//AB\subset \left(SAB\right)\Rightarrow CD//\left(SAB\right)$ nên $d\left(CD;AB\right)=d\left(CD;\left(SAB\right)\right)=d\left(K;\left(SAB\right)\right)=a$

Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}KP\perp SH\\ KP\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow KP\perp \left(SAB\right)\Rightarrow d\left(K;\left(SAB\right)\right)=KP=a\Rightarrow SO=a$ và $HK=\frac{2a}{\sqrt{3}}$(Do tam giác SHK là tam giác đều)

Suy ra $S_{ABCD}=H{K}^2=\frac{4a^2}{3}$.

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a.\frac{4a^2}{3}=\frac{4}{9}{a}^3$