Câu hỏi:
16/05/2023 214Cho tam giác ABC nhọn có \(\widehat A = 70^\circ \) và điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB. Gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Đường thẳng EF cách AB, AC theo thứ tự tại M, N.
a) Tính các góc của tam giác AEF.
b) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc MDN.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì E đối xứng D qua AB nên AB là trung trực của DE
Suy ra AE = AD
Do đó tam giác AED cân tại A
Mà AB là đường trung trực
Suy ra AB là phân giác của \(\widehat {DA{\rm{E}}}\)
Do đó \(\widehat {DAB} = \widehat {BA{\rm{E}}} = \frac{1}{2}\widehat {DA{\rm{E}}}\)
Vì F đối xứng D qua AC nên AC là trung trực của DF
Suy ra AF = AD
Do đó tam giác AFD cân tại A
Mà AC là đường trung trực
Suy ra AC là phân giác của \(\widehat {DAF}\)
Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {CAF} = \frac{1}{2}\widehat {DAF}\)
Ta có \(\widehat {F{\rm{AE}}} = \widehat {F{\rm{AD}}} + \widehat {DAE} = 2\widehat {CA{\rm{D}}} + 2\widehat {BAD} = 2\widehat {BAC} = 2.70^\circ = 140^\circ \)
Ta có AF = AE (= AD)
Suy ra tam giác AFE cân tại A, do đó \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}}\]
Xét tam giác AEF có
\[\widehat {{\rm{AFE}}} + \widehat {{\rm{AEF}}} + \widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)
Mà \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}},\widehat {FA{\rm{E}}} = 140^\circ \] (chứng minh trên)
Suy ra \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}} = \frac{{180^\circ - 140^\circ }}{2} = 20^\circ \]
b) Xét DAME và DAMD có
AM là cạnh chung;
\(\widehat {E{\rm{A}}M} = \widehat {DAM}\)(chứng minh trên);
AD = AE (chứng minh trên)
Do đó DAME = DAMD (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{AE}}M} = \widehat {ADM}\) (hai góc tương ứng)
Xét DANF và DAND có
AN là cạnh chung;
\(\widehat {{\rm{FAN}}} = \widehat {DAN}\)(chứng minh trên);
AD = AF (chứng minh trên)
Do đó DANF = DAND (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {ADN}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {{\rm{AE}}M} = \widehat {ADM}\), \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}}\]
Suy ra \(\widehat {{\rm{ADM}}} = \widehat {ADN}\)
Do đó DA là tia phân giác của góc MDN.
c) Gọi giao điểm của DE và AB là P, giao điểm của DF và AC là Q
Khi đó P là trung điểm của DE, Q là trung điểm của DF
Xét tam giác DFE có P, Q lần lượt là trung điểm của DE, DF
Suy ra PQ là đường trung bình
Do đó PQ // FE và \(PQ = \frac{1}{2}F{\rm{E}}\)
Vì M thuộc trung trực của DE nên MD = ME
Vì N thuộc trung trực của DF nên ND = NF
Chu vì tam giác DMN là
DM + DN + MN = ME + NF + MN = FE
Để chu vi tam giác DMN nhỏ nhất
⇔ FE nhỏ nhất
⇔ PQ nhỏ nhất (vì \(PQ = \frac{1}{2}F{\rm{E}}\))
⇔ PQ // BC và \(PQ = \frac{1}{2}BC\)
⇔ PQ là đường trung bình của tam giác ABC
⇔ D là trung điểm của BC
Vậy D là trung điểm của BC thì chu vi tam giác DMN nhỏ nhất.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho tam giác ABC đều cạnh a, tâm O. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).
c) \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\).
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.
b) Chứng minh rằng AB. cos B + AC . cosC = BC.
c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\).
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Cho tam giác abc vuông tại A, M là trung điểm của BC, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh \(DE = \frac{1}{2}BC\)
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.
Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Câu 7:
về câu hỏi!