Câu hỏi:
13/07/2024 1,393Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi O là tâm hình thoi ABCD.
⇒ AC ⊥ BD tại O.
ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD = BC
Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ \[\widehat {SAB} = \widehat {SAD}\], AB = AD, cạnh SA chung
∆SAB = ∆SAD ⇒ SB = SD ⇒ ∆ SBD cân tại S.
⇒ Trung tuyến SO là đường cao
⇒ SO ⊥ BD
Ta có: (SBD) ∩ (ABCD) = BD; SO ⊥ BD; AO ⊥ BD
⇒ Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AO, là \[\widehat {SOA}\]
\[ \Rightarrow \widehat {SOA} = {60^{\rm{o}}}\].
Giả sử cạnh hình thoi có độ dài là x.
∆ABC có AB = BC và \[\widehat {ABC} = {60^{\rm{o}}}\]⇒ ∆ABC đều ⇒ AC = x \[ \Rightarrow AO = \frac{x}{2}\]
Xét ∆SAO vuông tại A: \[\tan \widehat {SAO} = \frac{{SA}}{{AO}}\] \[ \Rightarrow SA = AO.\tan \widehat {SAO}\]
\[ \Rightarrow SA = \frac{x}{2}.\tan {60^{\rm{o}}} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\]
∆SAB = ΔSAC ⇒ SB = SC ⇒ ΔSBC cân tại S
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ SM ⊥ BC
∆ABC đều ⇒ AM ⊥ BC và \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\) ⇒ BC ⊥ (SAM)
Kẻ AH ⊥ SM.
⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC)
⇒ Khoảng cách từ A đến (SBC) là AH \[ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]
Xét ∆AHM vuông tại H có:\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\] (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\[ \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}\]
\[ \Rightarrow \frac{{16}}{{{a^2}.6}} = 2.\frac{4}{{{x^2}.3}}\] \[ \Rightarrow x = a\]
Khi đó \[SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]; \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \(BC = x = a\).
\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.AM.BC = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{4}\] (đơn vị thể tích).
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Câu 3:
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Câu 4:
Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
Câu 5:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách SC và BD.
về câu hỏi!