Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 81)

Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc AB, kẻ MN song song BC (N thuộc AC). Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN cân.

b) Kẻ ME song song AC. Chứng minh tam giác MBE cân.

Cho đa thức P(x) = x² + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết đa thức x⁴ + 6x² + 25 và đa thức 3x⁴ + 4x² + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1).

So sánh 4³⁰ và 3.24¹⁰.

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất y = sinx ‒ cosx.

Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn biết tam giác MPQ đều cạnh bằng \[15\sqrt 3 \]cm. Tính đường kính của đường tròn.

Tìm số tự nhiên n để: n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 là số nguyên tố.

Tìm số nguyên tố p sao cho p + 8 và p + 16 đều là các số nguyên tố.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để trên (−1; 1), hàm số \[y = \frac{{mx + 6}}{{2x + m + 1}}\] nghịch biến.

Tìm tất các giá trị thực của tham số m để phương trình (m – 2)x + m² – 3m +2 = 0 có tập nghiệm là ℝ.

Tìm x để P² > P biết \[P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\].

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.

Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5

Giải phương trình:

\[\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x + 2}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 2x + 2}} = \frac{{5\left( {{x^2} - 5} \right)}}{{{x^4} + 4}} + \frac{{25}}{4}\].

Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.

Tìm GTLN, GTNN của: \[y = \sin 2x + \sqrt 3 {\cos ^2}x + 1\] \[\]

5 phút bằng một phần mấy của giờ?

Tìm A hợp B hợp C, biết: \[A = \left[ {1;4} \right]\]; \[B = \left( {2;6} \right)\]; \[C = \left( {1;2} \right)\]

Cho các tập A = {0, 1, 2, 3} , B = {0, 2, 4, 6} , C = {0, 3, 4, 5}.

Tìm (A ∪ B) ∖ (B ∪ C).

Chứng minh biểu thức sau luôn lớn hơn 0 với mọi x:

A = x² + 5x + 9.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, OD.

a) Chứng minh ANCM là hình bình hành.

b) Qua N kẻ NK song song với OC (K thuộc CD) biết AC = 10cm. Tính NK.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách SC và BD.

Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D thuộc BC), EF // BC (F thuộc AB) cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có I là trung điểm BC và AH là đường cao. Chứng minh \[BC.IH = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{C^2}} \right)\].

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.

a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.

b) Chứng minh rằng HE = HF.

Cho tam giác ABC vuông ở A và hình vuông BCDE. Chứng minh rằng: 

AB + AC ≤ CE.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài tam giác một hình vuông BCDE. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông. Chứng minh AO là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\].

Cho tập hợp A = (‒1; 5]; B = (2; 7]. Tìm A \ B.

Chứng minh 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹ chia hết cho 38.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?

Cho \[M = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\] với x ≥ 0, x ≠ 1.

a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị của M khi x = 4.

c) Tìm x ∈ ℝ để M có giá trị nguyên.

Giải phương trình: x³ ‒ 3x ‒ 4 = 0.

Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Cho a + b + c = 0; a² + b² + c² = 2.

Tính giá trị của biểu thức: A = a⁴ + b⁴ + c⁴.

Chứng minh nếu n² chia hết cho 9 thì n chia hết cho 3 (với n là số tự nhiên).

Cho hai tập hợp X = {n ∈ ℕ⃒n là bội của 4 và 6} và Y = {n ∈ ℕ⃒n là bội của 12}. Mệnh đề nào sau đây sai?

Tìm số thích hợp để điền vào dãy số sau: 3; 17; 59; 185; 563; …

Một khu đô thị hình chữ nhật được vẽ trên bản đồ 1: 30000. Trên bản đồ chiều dai của khu đô thị là 3cm, chiều rộng là 2cm. Tính diện tích thực tế của khu đô thị.

Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của một lớp 10 có 22 học sinh nữ và 20 học sinh nam được cho ở bảng sau:

Cho biết đơn vị điều tra và kích thước của mẫu số liệu trên?

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, AB = AD = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độ dài các vectơ:

a) \[\overrightarrow a = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {DC} \];

b) \[\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {IC} \].

Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:

2xy ‒ 1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1).

Một đội sản xuất chuẩn bị gạo đủ cho 120 công nhân ăn trong 30 ngày. Nhưng phải nhận thêm công nhân nên số gạo dự trữ chỉ đủ ăn trong 15 ngày. Hỏi sau khi nhận thêm công nhân, đội sản xuất có tất cả bao nhiêu người?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình x⁶ + 3x⁴ − m³x³ + 4x² − mx + 2 ≥ 0 đúng với mọi x ∈ [1; 3]. Tính tổng của tất cả các phần tử thuộc S.

Giải phương trình sau:

(2x + 3) (x + 2)² (2x + 5) = 315

Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng:

a³ + b³ + c³ + d³ = 3.(ab ‒ cd).(c + d).

Cho a, b, c, d > 0 và ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng:

\[\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\]

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.