Cho các số thực x,y thỏa mãn lny≥lnx3+2−ln3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y. A. 1e B. e. C. 1. D. 0

Chọn C. Điều kiện: y>0,x>−23 Từ giả thiết ta có: lny+ln3≥lnx3+2⇔ln3y≥lnx3+2⇔3y≥x3+2⇔3y−x≥x3−3x+2 Xét hàm số hx=x3−3x+2 trên −23;+∞. Ta có: h'x=3x2−3,h'x=0⇔3x2−3=0⇔x=−1x=1. h−1=4,h1=0,h−23=323>0. Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: min−23;+∞hx=0. Suy ra: 3y−x≥0⇔y−x≥0. Ta có: H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y=ey−x+3y−x3+2−y−x22−y−x≥ey−x−y−x22−y−x. Xét hàm số gt=et−12t2−t trên 0;+∞. Ta có: g't=et−t−1,g"t=et−1. Ta có: ∀t≥0⇒g"t=et−1≥e0−1=0, suy ra hàm số g't đồng biến trên 0;+∞. Suy ra: ∀t≥0:g't≥g'0=0, suy ra hàm số gt đồng biến trên 0;+∞. Vậy min0;+∞gt=g0=1, Suy ra: Hmin=1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=y3y=x3+2⇔x=y=1.

Câu hỏi:

30/03/2022 376

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y .$

A. $\frac{1}{e}$

B. $e .$

C. 1.

Đáp án chính xác

D. 0

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

Điều kiện: $y > 0, x > - \sqrt[3]{2}$

Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l} \ln y + \ln 3 \geq \ln (x^{3} + 2) \\ \Leftrightarrow \ln 3 y \geq \ln (x^{3} + 2) \\ \Leftrightarrow 3 y \geq x^{3} + 2 \Leftrightarrow 3 (y - x) \geq x^{3} - 3 x + 2 \end{array}$

Xét hàm số $h (x) = x^{3} - 3 x + 2$ trên $(- \sqrt[3]{2}; + \infty) .$

Ta có: $h' (x) = 3 x^{2} - 3, h' (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

$h (- 1) = 4, h (1) = 0, h (- \sqrt[3]{2}) = 3 \sqrt[3]{2} > 0.$

Bảng biến thiên:

Cho các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra: $\min_{(- \sqrt[3]{2}; + \infty)} h (x) = 0.$

Suy ra: $3 (y - x) \geq 0 \Leftrightarrow y - x \geq 0.$

Ta có:

$\begin{array}{l} H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y \\ = e^{y - x + 3 y - (x^{3} + 2)} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) \geq e^{y - x} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) . \end{array}$

Xét hàm số $g (t) = e^{t} - \frac{1}{2} t^{2} - t$ trên $[0; + \infty) .$

Ta có: $g' (t) = e^{t} - t - 1, g " (t) = e^{t} - 1.$

Ta có: $\forall t \geq 0 \Rightarrow g " (t) = e^{t} - 1 \geq e^{0} - 1 = 0,$

suy ra hàm số $g' (t)$ đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Suy ra: $\forall t \geq 0 : g' (t) \geq g' (0) = 0,$

suy ra hàm số $g (t)$ đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Vậy $\min_{[0; + \infty)} g (t) = g (0) = 1,$ Suy ra: $H_{\min} = 1.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{cases} x = y \\ 3 y = x^{3} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1.$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. Gọi M,N,P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB'A', ACC'A' và BCC'B'. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A,B,C,M,N,P bằng:

A. $30 \sqrt{3}$

B. $21 \sqrt{3}$

C. $27 \sqrt{3}$

D. $36 \sqrt{3}$

Xem đáp án » 05/04/2022 2,895

Câu 2:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có dấu của $f' (x)$ như sau:

Hàm số $y = f (2 - x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án » 30/03/2022 2,172

Câu 3:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, để hai vecto $\vec{a} = (m; 2; 3)$ và $\vec{b} = (1; n; 2)$ cùng phương thì 2m+3n bằng

A. 7

B. 8

C. 6

D. 9

Xem đáp án » 05/04/2022 2,140

Câu 4:

Một cấp số cộng có u₂= 5 và u₃= 9. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. u₄ = 12

B. u₄ = 13

C. u₄ = 36

d. u₄ = 4

Xem đáp án » 05/04/2022 1,900

Câu 5:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm P(0;0;-3) và Q(1;1;-3). Véc tơ $\vec{P Q} + 3 \vec{j}$ có tọa độ là

A. (-1;-1;0)

B. (1;1;1)

C. (1;4;0)

D. (2;1;0)

Xem đáp án » 05/04/2022 1,726

Câu 6:

Gọi a,b là các số nguyên thỏa mãn $(1 + \tan 1^{o}) (1 + \tan 2^{o}) . . . (1 + \tan 43^{o}) = 2^{o} (1 + \tan b^{o})$ đồng thời $a, b \in [0; 90]$ Tính P=a+b

A. 46

B. 22

C. 44

D. 27

Xem đáp án » 05/04/2022 1,560

Câu 7:

Cho x,y là các số thực thỏa mãn $x \neq 0$ và ${(3^{x^{2}})}^{3 y} = 27^{x}$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. x²y=1

B. xy=1

C. 3xy=1

D. x²+3y = 3x

Xem đáp án » 05/04/2022 1,341

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho các số thực x,y thỏa mãn lny≥lnx3+2−ln3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. Gọi M,N,P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB'A', ACC'A' và BCC'B'. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A,B,C,M,N,P bằng:

Cho hàm số fx có đạo hàm trên ℝ và có dấu của f'x như sau: Hàm số y=f2−x có bao nhiêu điểm cực trị?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, để hai vecto a→=(m;2;3) và b→=(1;n;2) cùng phương thì 2m+3n bằng

Một cấp số cộng có u2 = 5 và u3 = 9. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz cho hai điểm P(0;0;-3) và Q(1;1;-3). Véc tơ PQ→+3j→ có tọa độ là

Gọi a,b là các số nguyên thỏa mãn 1+tan1o1+tan2o...1+tan43o=2o1+tanbo đồng thời a,b∈0;90 Tính P=a+b

Cho x,y là các số thực thỏa mãn x≠0 và 3x23y = 27x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!