Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

a) Ta có \(A = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}\) nên \(5A = 5 \cdot \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right) = {5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}\).

Suy ra \(5A - A = \left( {{5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}} \right) - \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right)\)

Do đó \(4A = {5^{101}} - 5\) nên \(A = \frac{{{5^{101}} - 5}}{4}.\)

b) Ta có \(B = 1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}\) nên \({3^2} \cdot B = {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right) = {3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}\).

Suy ra \[{3^2}B - B = \left( {{3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}} \right) - \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right)\]

Do đó \[8B = {3^{102}} - 1\] nên \[B = \frac{{{3^{102}} - 1}}{8}.\]

c) Ta có \[C = 2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... - {2^{100}}\] nên

\(2C = 2 \cdot \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right) = {2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}\)

Suy ra \[2C + C = \left( {{2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}} \right) + \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right)\]

Do đó \[3C = 2 - {2^{101}}\] nên \[C = \frac{{2 - {2^{101}}}}{3}.\]

d) Ta có \(D = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100\) nên \(3D = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 3\)

Suy ra \(3D = 1 \cdot 2 \cdot \left( {3 - 0} \right) + 2 \cdot 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 98} \right)\)

\[ = 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 101 - 99 \cdot 100 \cdot 98\]

\[ = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4 \cdot 2} \right) + ... + \left( {98 \cdot 99 \cdot 100 - 99 \cdot 100 \cdot 98} \right) + \left( {99 \cdot 100 \cdot 101 - 1 \cdot 2 \cdot 0} \right)\]

\[ = 99 \cdot 100 \cdot 101 - 0 = 99 \cdot 100 \cdot 101\].

Do đó \(D = \frac{{99 \cdot 100 \cdot 101}}{3} = 33 \cdot 100 \cdot 101 = 333\,\,300\).

e) Ta có \(E = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100\) nên \(4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 4\)

Suy ra \(4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( {5 - 1} \right) + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 97} \right)\)

\( = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97\)

\( = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2} \right) + ...\left( {97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97} \right) + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101\)

\( = 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101\)

Do đó \(E = \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101}}{4} = 24\,\,497\,\,550.\)