Câu hỏi:
13/07/2024 797Tìm số tự nhiên n để: n2021 + n2020 + 1 là số nguyên tố.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có:
n2021 + n2020 + 1
= n2021 ‒ n2 + n2020 ‒ n + n2 + n +1
= n2(n2019 ‒ 1) + n(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)
= (n2 + n)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)
= n(n + 1)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1) (1)
Để ý rằng, 2019 chia hết cho 3 và 2019 = 3.673
Nên nếu đặt A = n3 thì n2019 = A673
Mặt khác áp dụng hằng đẳng thức sau:
ak ‒ bk = (a ‒ b)(ak‒1 + ak‒2b1 + ak‒3b2 +...+ a1bk‒2 + bk‒1)
Ta có: n2019 ‒ 1 = A673 ‒ 1 = A673 ‒ 1673 = (A ‒ 1)(A672 + A671 + ... + A1 + 1)
⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (A ‒ 1) hay n2019 ‒ 1 ⋮ (n3 ‒ 1)
Mà n3 ‒ 1 = (n ‒ 1)(n2 + n +1) ⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (n2 + n +1) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ n2021 + n2020 + 1 ⋮ (n2 + n +1)
Như vậy để n2021 + n2020 + 1 là một số nguyên tố thì có hai trường hợp:
1. n2 + n +1 = 1, trường hợp này không xảy ra do n > 0 (giả thiết)
2. n2021 + n2020 + 1 = n2 + n +1 hay n2020(n + 1) = n(n + 1) ⇒ n(n + 1)(n2019 ‒ 1) = 0
Do n > 0 nên n2019 ‒ 1 = 0 ⇒ n = 1
Thử lại ta có: n2021 + n2020 + 1 = 12021 + 12020 + 1 = 3 là số nguyên tố.
Vậy n = 1 là đáp án cần tìm.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Câu 3:
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu 5:
Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
Câu 6:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách SC và BD.
về câu hỏi!