Câu hỏi:
13/07/2024 878Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
2xy ‒ 1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
2xy ‒1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1) = z(xy ‒ x ‒ y + 1)
⇒ 2xy ‒1 = zxy ‒ zx ‒ zy + z
⇒ 2xy = zxy ‒ zx ‒ zy + (z + 1)
⇒ z(x + y) = (z ‒ 2)xy + (z + 1) (*)
Trường hợp 1. z ≤ 2. Mà z ∈ ℕ* nên z = 1 hoặc z = 2
– Nếu z = 1, thay vào (*) ta được:
x + y = ‒xy + 2 ⇒ x + y + xy + 1 = 3 ⇒ (x + 1)(y + 1) = 3
Do x, y ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:
|
x + 1 |
1 |
3 |
|
y + 1 |
3 |
1 |
|
x |
0 |
2 |
|
y |
2 |
0 |
⇒ (x; y) ∈ {(0; 2); (2; 0)}.
Þ (x; y; z) ∈ {(0; 2; 1); (2; 0; 1)}.
– Nếu z = 2 ⇒ 2(x + y) = 3 \( \Rightarrow x + y = \frac{3}{2}\) (loại vì x, y ∈ ℕ*).
Trường hợp 2. z > 2 ⇒ (z ‒ 2)xy > 0
Từ z(x + y) = (z ‒ 2)xy + (z + 1) ⇒ z(x + y) > (z ‒ 2)xy
Giả sử x ≥ y ⇒ 2x ≥ x + y ⇒ 2xz ≥ z(x + y) > (z ‒ 2)xy
⇒ 2z > (z − 2)y ⇒ 2z + 2y > zy
– Nếu z ≥ y ⇒ 4z ≥ 2z + 2y > zy ⇒ 4 > y
Mà y ∈ ℕ* nên y ∈ {1, 2, 3}.
• Với y = 1, thay vào (*) ta được z(x + 1) = (z ‒ 2)x + (z + 1)
⇒ zx + z = zx ‒ 2x + z + 1 ⇒ ‒2x + 1 = 0 (vô lý)
• Với y = 2, thay vào (*) ta được z(x + 2) = 2(z ‒ 2)x + (z + 1)
⇒ zx + 2z = 2zx – 4x + z + 1 ⇒ xz – z – 4x + 1 = 0
⇒ z(x ‒ 1) ‒ 4x + 4 = 3 ⇒ z(x ‒ 1) ‒ 4(x – 1) = 3
⇒ (z ‒ 4)(x ‒ 1) = 3
Do x, z ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:
|
z – 4 |
1 |
3 |
|
x – 1 |
3 |
1 |
|
z |
5 |
7 |
|
x |
4 |
2 |
⇒ (x; z) ∈ {(4; 5); (2; 7)} thỏa mãn điều kiện.
Þ (x; y; z) ∈ {(4; 2; 5); (2; 2; 7)}.
• Với y = 3, thay vào (*) ta được z(x + 3) = 3(z ‒ 2)x + (z + 1)
Þ zx + 3z = 3zx – 6x + z + 1 Þ 2zx – 2z – 6x + 1 = 0
Þ 2z(x – 1) – 6(x – 1) = 5 Þ (x – 1)(2z – 6) = 5.
Mà 2z – 6 là số chẵn nên ta loại trường hợp này.
– Nếu z ≤ y Þ 4y ≥ 2z + 2y > zy Þ 4 > z.
Kết hợp với z > 2 ta được 2 < z < 4
Mà z ∈ ℕ* nên z = 3
Thay z = 3, thay vào (*) ta được 3(x + y) = (3 ‒ 2)xy + (3 + 1)
Þ 3(x + y) = xy + 4 Þ 3x + 3y – xy = 4
Þ x(3 – y) – 3(3 – y) = –5 Þ (3 – y)(x – 3) = –5
Þ (x – 3)(y – 3) = 5
Do x, y ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:
|
x – 3 |
1 |
5 |
|
y – 3 |
5 |
1 |
|
x |
4 |
8 |
|
y |
8 |
4 |
⇒ (x; y) ∈ {(4; 8); (8; 4)} thỏa mãn điều kiện.
Þ (x; y; z) ∈ {(4; 8; 3); (4; 8; 3)}.
Vậy các bộ số (x; y; z) thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
(x; y; z) ∈ {(0; 2; 1); (2; 0; 1); (4; 8; 3); (4; 8; 3)}.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Câu 3:
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu 5:
Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
Câu 6:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách SC và BD.
về câu hỏi!