Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m\right|$ có 5 điểm cực trị.

Chọn C.

Tập xác định:

Ta có đạo hàm của $\left(\left|f\left(x\right)\right|\right)\text{'}=\left(\sqrt{f^2\left(x\right)}\right)\text{'}=\frac{2f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)}{2\sqrt{f^2\left(x\right)}}=\frac{f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)}{\left|f\left(x\right)\right|},$ suy ra

Đạo hàm $y\text{'}=\frac{\left(12x^3-12x^2-24x\right)\left(3x^4-4x^3-12x^2+m\right)}{\left|3x^4-4x^3-12x^2+m\right|}$, từ đây ta có

Xét phương trình

$$\begin{gathered} \left(12x^3-12x^2-24x\right)\left(3x^4-4x^3-12x^2+m\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}12x^3-12x^2-24x=0\\ 3x^4-4x^3-12x^2+m=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=2\\ 3x^4-4x^3-12x^2=-m\left(*\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xét hàm số $g\left(x\right)=3x^4-4x^3-12x^2$ trên R và $g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=2\end{array}\right..$ Bảng biến thiên của  như sau:

Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của y'=0 và số điểm tới hạn của y' là 5, do đó ta cần có các trường hợp sau

TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1; 0; 2 $\iff \left[\begin{array}{l}-m>0\\ -32<-m<-5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m<0\\ 5<m<32\end{array}\right.,$ trường hợp này có 26 số nguyên dương.

TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm $-1;0;2\iff \left[\begin{array}{l}-m=0\\ -m=-5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=5\end{array}\right.,$ trường hợp này có một số nguyên dương.

Vậy có tất cả là 27 số nguyên dương thỏa mãn bài toán.