Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e,(a\ne 0)$ có đồ thị của đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$ như hình vẽ.

Biết rằng $e>n.$ Số điểm cực trị của hàm số $y=f\text{'}(f\left(x\right)-2x)$ bằng

Ta có: $y\text{'}=(f\text{'}\left(x\right)-2)f\text{'}\text{'}[f\left(x\right)-2x].$

$y\text{'}=0\iff (f\text{'}\left(x\right)-2)f\text{'}\text{'}[f\left(x\right)-2x]=0\iff [\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)-2=0\text{ (1)}\\ f\text{'}\text{'}[f\left(x\right)-2x]=0\left(2\right)\end{array}$

Xét phương trình $\left(1\right)\iff f\text{'}\left(x\right)=2.$

 

Từ đồ thị ta có phương trình $\left(1\right)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3(x_1<m<x_2=0<n<x_3).$

Xét phương trình (2).

Trước hết ta có: $f\text{'}\left(x\right)=4a{x}^3+2b{x}^2+2cx+d.$

                          $f\text{'}\left(0\right)=2\iff d=2.$

Suy ra: $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+2x+e.$

$\left(2\right)\iff f"[f\left(x\right)-2x]=0\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)-2x=m\\ f\left(x\right)-2x=n\end{array}\iff [\begin{array}{l}a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+e=m\\ a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+e=n\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2=m-e\left(2a\right)\\ a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2=n-e\left(2b\right)\end{array}.$

Số nghiệm của hai phương trình $\left(2a\right)$ và $\left(2b\right)$ lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng $y=m-e$ và $y=n-e$ (trong đó $m-e<n-e<0)$ với đồ thị hàm số $g\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2.$

      $g\text{'}\left(x\right)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx$

      $g\text{'}\left(x\right)=0\iff 4a{x}^3+3b{x}^2+2cx=0\iff 4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+2=2$

                      $\iff f\text{'}\left(x\right)=2\iff [\begin{array}{l}x=x_1<0\\ x=x_2=0\\ x=x_3>0\end{array}$

Từ đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ suy ra:

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\text{'}\left(x\right)=+\infty$ nên $a<0$ nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty .$

Bảng biến thiên của hàm số $y=g\left(x\right):$

Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình $\left(2a\right),\left(2b\right)$ mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt (hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác $x_1,x_2,x_3.$