Câu hỏi:
12/04/2022 3,965Xét các số thực dương \(a,\,b\) thỏa mãn \[{\log _9}a = \log {}_{12}b = \log {}_{15}\left( {a + b} \right)\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Phân tích: \(9 = {3^2}\)nhưng \(12;15\)không có số nào là số chính phương. Nên ta sẽ đặt ẩn phụ đưa về phương trình ở dạng :\({a^{f\left( x \right)}} + {b^{f\left( x \right)}} = {c^{f\left( x \right)}}\).
Đặt
\[{\log _9}a = \log {}_{12}b = \log {}_{15}\left( {a + b} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _9}a = t\\\log {}_{12}b = t\\\log {}_{15}\left( {a + b} \right) = t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}{\rm{ }}\left( 1 \right)\\b = {12^t}{\rm{ }}\left( 2 \right)\\a + b = {15^t}{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\].
Thế \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta được \({9^t} + {12^t} = {15^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ = 1 }}\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ }} \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\frac{9}{{15}}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{9}{{15}}{\rm{ + }}{\left( {\frac{{12}}{{15}}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{{12}}{{15}} < 0,{\rm{ }}\forall t \in \mathbb{R}\). Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(f\left( 2 \right) = 1\) nên \(t = 2\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(\left( * \right)\).
Do \(t = 2\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 91\\b = 144\end{array} \right. \Rightarrow \frac{a}{b} \in \left( {0;2} \right)\).
Chọn đáp án C
</>
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 2}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Mệnh đề nào sau đây đúng
Câu 2:
Diện tích toàn phần của một hình nón có độ dài đường sinh \[l\] gấp đôi bán kính đáy \[r\] là
Câu 3:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \[AB = 2a,\,\,AD = a,\,\,SA = 3a\] và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(CD\), điểm \(E \in SA\)sao cho \(SE = a\), cosin của góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\) bằng
Câu 4:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ {1;2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) có đúng \(3\) điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là?
Câu 5:
Cho biết sự rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là \(1,32\% \), nếu tỉ lệ tăng dân số không thay đổi thì đến tăng trưởng dân số được tính theo công thức tăng trưởng liên tục \(S = A.{{\rm{e}}^{Nr}}\)trong đó \(A\) là dân số tại thời điểm mốc, \(S\) là số dân sau \(N\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm \(2013\) dân số thể giới vào khoảng \(7095\) triệu người. Biết năm \(2020\) dân số thế giới gần nhất với giá trị nào sau đây?
Câu 6:
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương\(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn:\(2y{.2^x} = {\log _2}\left( {1 + \frac{{2x}}{y}} \right) + 2y + 3x\)
về câu hỏi!