Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 2)

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {3;1;9} \right)\), đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng\(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\).

a) Điểm \(A\) có tọa độ dạng \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\) với \(t \in \mathbb{R}\) thì \(A\) thuộc đường thẳng \(d\).

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \[\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)\].

c) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\), cắt đường thẳng \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), coi mặt biển là một phần của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Một ngọn hải đăng cao \[60{\rm{ m}}\] so với mực nước biển được đặt ở vị trí \[I\left( {30;55;60} \right)\] có bán kính phủ sáng là \(5\) km.

a) Vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}\) .

b) Nếu người đi biển ở vị trí \(A\left( {7500;6500;0} \right)\) thì người đó ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.

c) Nếu ngọn hải đăng phủ sáng một vùng trên mặt biển thì diện tích vùng sáng này không vượt quá \[80\] triệu mét vuông.

d) Nếu hai người đi biển ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không vượt quá \[10\] km.

Một nhóm kỹ sư sử dụng flycam để giám sát một công trình điện mặt trời. Họ mô phỏng không gian công trình trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\], đơn vị trên mỗi trục là mét. Mặt đất được xem là mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\], mái của công trình là một mặt phẳng song song với mặt đất và cách mặt đất \(4{\rm{ m}}\). Flycam bay theo đường thẳng bắt đầu từ điểm \(A\left( {11; - 15;0} \right)\) đến điểm \(B\left( {0; - 6;13} \right)\), sau đó từ điểm \(B\) flycam tiếp tục bay theo đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)\) để tìm một vị trí điểm \(M\) phù hợp cho việc giám sát công nhân trên mái.

a) Đường bay\(AB\) của flycam có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 11;9;13} \right)\).

b) Đường bay \(BM\) của flycam có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 6 + t\\z = 13 - 2t\end{array} \right.\).

c) Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi đường bay \(BM\) và mái của công trình. Khi đó \(\sin \varphi = - \frac{2}{{\sqrt 6 }}.\)

d) Để đảm bảo an toàn cho công nhân làm việc trên mái công trình, điểm quan sát \(M\) của flycam phải ở phía trên mái công trình và cách mái công trình \(3{\rm{ m}}\). Biết rằng điểm \(M\left( {a;b;c} \right),\) khi đó \(a - b - c = - 7.\)

Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + z - 25 = 0\). Một đường thẳng \(d'\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(M\), cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(N\) và \(d'\) song song với \(\left( P \right)\). Độ dài nhỏ nhất của đoạn \(MN\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \[A\left( {4\,;\,1\,;\, - 2} \right)\], \[B\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)\] và \[C\left( { - 1\,;\,3\,;\,1} \right)\]. Trên đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + 2t\\z = 2\end{array} \right.\,,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có hai điểm \({M_1},{M_2}\) sao cho thể tích hai khối tứ diện \({M_1}ABC\) và \({M_2}ABC\) cùng bằng \(8\). Khoảng cách giữa hai điểm \({M_1}\), \({M_2}\) bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí \(A\) cao \(15\,{\rm{m}}\) của tháp 1 này sang vị trí \(B\) cao \(10\,{\rm{m}}\) của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A,\,B\) lần lượt là \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và \(B\left( {21;\,27,5;\,10} \right)\). Khi du khách ở độ cao \(12\,{\rm{m}}\) thì tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\).