Câu hỏi:
11/04/2022 5,423Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh bên là \(2a,\) đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\) góc giữa \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \({30^0}\) (tham khảo hình vẽ).
Tính theo \(a\) thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\)
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn \(BC,\) vì \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân nên \(H\) là chân đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\) đồng thời cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy của lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(HC.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB'\end{array} \right.\) nên \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right).\)
Suy ra \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(AC\) lên \(\left( {BCC'B'} \right).\)
Góc giữa \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) là \(\widehat {AC'H} = {30^0}.\)
Đặt \(HC = x \Rightarrow AC = x\sqrt 2 .\)
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta ACC'\) ta được \(AC' = \sqrt {2{x^2} + 4{a^2}} .\)
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta HCC'\) ta được \[HC' = \sqrt {{x^2} + 4{a^2}} .\]
Xét \(\Delta AHC'\) vuông tại \(H\) có: \(\cos \left( {{{30}^0}} \right) = \frac{{HC'}}{{AC'}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt {\frac{{{x^2} + 4{a^2}}}{{2{x^2} + 4{a^2}}}} .\)
Khi đó: \(\frac{3}{4} = \frac{{{x^2} + 4{a^2}}}{{2{x^2} + 4{a^2}}} \Leftrightarrow 6{x^2} + 12{a^2} = 4{x^2} + 16{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .\)
Thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp của lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:
\(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {HC} \right)^2}CC' = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.2a = 4\pi {a^3}.\)
Đáp án D
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai số thực dương \(a,b.\) Rút gọn biểu thức \[\] ta thu được \(A = {a^m}.{b^n}.\)
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;2} \right]\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Câu 3:
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 3\) đạt cực đại tại điểm x=3.
Câu 4:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}},\) biết tiếp tuyến có hệ số góc \(k = - 3\)
Câu 5:
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}.\)
Câu 6:
Phương trình \({3^x}{.5^{\frac{{2x - 1}}{x}}} = 15\) có một nghiệm dạng \(x = - {\log _a}b,\) với \(a,b\) là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\) bằng bao nhiêu?
về câu hỏi!